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1、为了解估计值的精确度，需要对的取值估计出一个范围；为了解其可靠性，需要知道这个范围包含参数的真值的可靠程度。这样的范围通常以区间的形式给出，这就是所谓区间估计问题.,第四节 参数的区间估计,一、置信区间和置信度,二、单个正态总体均值和方差的置信区间,三、两个正态总体均值差的置信区间,四、两个正态总体方差比的置信区间,五、大样本场合下p 和的区间估计,一、置信区间和置信度,X1,X2,Xn为X 的样本，对于事先给定的(01)，,定义：,为1-的置信区间的置信下限和置信上限，1-称为置,信度。,真值的概率为1-.,关于区间估计的几点说明：,是统计量，即 是随机区间，而是一个客观存,在的未知数.所以
2、确切的理解是随机区间 包含,内的概率为1-，这种理解不够确切.因为 和 都,例如：,对总体取100个容量为n 的样本观察值，可得到100个,(=0.05)应理解为：,数的真值，还有大约5%个不包含的真值.,2.置信区间的长度反映了估计的精确度，置信区间长度越小，估计的精确度越高.,3.置信度1反映了估计的可靠度，1 越大越可靠.但是，若提高可靠度就会降低精确度，提高精确度就会降低可靠度.,先保证可靠度（置信度）1,再选置信区间中长度最小的那个以提高精确度.,处理原则：,求置信区间的步骤：,1.明确问题，确定要求的是哪一个参数的置信区间，置信度是多少.,2.构造一个有确定分布的样本的函数：,它含
3、有待估参数但不含其它未知参数.,3.根据随机变量的分布，对给定的置信度1，定出常数 a,b,使得,得到如下形式:得置信区间：,二、单个正态总体均值和方差的置信区间,1.方差 2已知,的置信度为1-的置信区间是：,推导：,N(0,1),对给定的置信水平1，查正态分布表得 则,设总体XN(,2).X1,X2,Xn是取自X的样本，,样本均值 样本方差S2,1,从而得,于是得 的置信区间为：,也可简记为：,2.方差 2未知,的置信度为1-的置信区间是：,推导：,从而得：,于是得 的置信区间为：,也可简记为：,对给定的置信水平1，查t分布表得 则,3.当 已知时,方差 2 的置信度为1的置信区间是,标准
4、差 的置信度为1-的置信区间是：,推导：,所以 2 的置信度为1-的置信区间为：,标准差 的置信度为1-的置信区间是：,4.当 未知时,方差 2 的置信度为1-的置信区间是,标准差 的置信度为1-的置信区间是,推导：,所以，方差 2 的置信度为1-的置信区间是：,标准差 的置信度为1-的置信区间是：,例1.已知幼儿身高服从正态分布，现从56岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;假设标准差=7，试求总体均值 的置信度为0.95的置信区间.,解：,已知时，的置信度为0.95的置信区间是：,又,由给定数据算得：,计算：,
5、所以，总体均值 的置信度为0.95的置信区间是：,例2.某工厂生产一批滚珠,其直径 X 服从正态分布,解：,N(2),现从某天的产品中随机抽取 6 件,测得,(1)求 的置信区间；(2)求方差 2的置信区间.,（置信度均为0.95）,直径为：15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1,(1)因为 2未知时,的置信度为0.95的置信区间是：,由给定数据算得：,又查表得：,计算,得 的置信度为0.95的置信区间为：,查表得：,（2）方差 2的置信度为0.95的置信区间为：,又,所以，方差 2的置信度为0.95的置信区间是：,为取自总体 N(1 12)的样本,为取自总体 N(2 22
6、)的样本,分别表示两样本的样本均值与样本方差,三、两个正态总体均值差的置信区间,1.方差1 2、2 2已知时，1-2的置信度为1-的置信区间是：,且两总体相互独立。,推导：,N(0,1),由,解得,从而得1-2的置信度为1-的置信区间是：,也可简记为：,(2)未知 但 时，12的置信度,为1 的置信区间是：,推导：,由,得,由,和,得,从而,解得12的置信度为1 的置信区间是：,由,的置信度为1-的置信区间是：,由,解得,推导：,从而得 的置信度为1-的置信区间是：,即 的置信度为1-的置信区间是：,例3.某食品加工厂有甲、乙两条加工猪肉罐头的生产线，设罐头质量 服从正态分布，从甲生产线抽取1
7、0只罐头，测得平均质量，已知标准差 1=5(g)；从乙生产线抽取20只罐头，测得平均质量，已知标准差 2=4(g)，求甲、乙生产线的罐头的平均质量差1-2的置信度为0.99的置信区间,解：,知1-2的置信度为1-的置信区间是：,由 1=5(g)，2=4(g)，,又,计算,所以1-2的置信度为0.99的置信区间是：,例4.某食品处理前取样分析其含脂率为：0.19，0.12，0.18，0.30，0.21，0.27，0.30，0.42，0.66，0.08；处理后取样分析其含脂率为：0.15，0.04，0.13，0.08，0.00，0.20，0.07，0.12，0.24，0.13，0.24，假如处理前
8、后的含脂率均 服从正态分布，且方差不变，试求处理前后的含脂率期望之差1-2的置信度为0.95的置信区间.,1-2的置信度为1-的置信区间是：,解：,由 未知，但，可知，,由给定数据算得,所以，1-2的置信度为0.95的置信区间是：,计算,又,解：,例5.设XN(1 12)，YN(2 22)，且X和Y相互独立，分别在X、Y中取容量为n1=13，n2=10的样本，测得样本方差分别为S 12=8.41，S22=5.29，求方差比 的置信度为0.90的置信区间.,的置信度为1-的置信区间是：,计算,五、大样本场合下p和的区间估计,1、大样本场合下概率p的置信度为1-的置信区间为,推导：,由中心极限定理知，当n充分大时，统计量,近似,将 p 的估计值 代入，得 p的置信度为1-的置信,区间为,2、大样本场合下总体均值的置信度为1-的置信区间为,推导：,由中心极限定理知，当n充分大时，统计量,近似,从而得的置信度为1-的置信区间为：,解：,例6.某厂对一批产品随机抽验400件，发现60件不合格，求这批产品的次品率 p 的置信度为0.99的置信区间.,p 的置信度为0.99的置信区间为,现知,所以，p 的置信度为0.99的置信区间是：,计算,
