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1、数 学 选修2-2,1.1 变化率与导数,第一章 导数及其应用,1.1.1 变化率问题,变化率问题,本节重点：函数的平均变化率的概念本节难点：函数平均变化率的求法1x是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而y是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，y0.,问题探究,【背景材料】在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度越来越慢.如何从数学的角度描述这种现象？设气球的体积为V（单位：L），某一时刻的半径为r（单位：dm）.,当空气容量V从0L增加到1L时，气球的半径增加了多少？可以用哪个数据来刻画气球的平均膨
2、胀率？,当空气容量V从1L增加到2L时，气球的半径增加了多少？平均膨胀率是多少？,当空气容量V从V1L增加到V2L时，气球的半径增加了多少？平均膨胀率是多少？,问题探究,运动员在0s到0.5s时段内的平均速度为多少？,【背景材料】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)4.9t26.5t10.,问题探究,运动员在1s到2s时段内的平均速度为多少？,如何计算运动员在t1s到t2s时段内的平均速度？,问题探究,如何计算运动员在0s到 s时段内的平均速度？运动员在该时段内是静止吗？,问题探究,你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问
3、题吗？,如果将上述两个问题中的函数关系用yf(x)表示，那么平均膨胀率和平均速度可用什么代数式表示？,形成结论,把式子 称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率,形成结论,习惯上用x表示x2x1，用y表示f(x2)f(x1)，则平均变化率可以表示为.,形成结论,那么函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？,例1 求函数y5x26在区间2，2x内的平均变化率.,205x.,例题讲解,例2 某盏路灯距离地面高8m，一个身高1.7m的人从路灯的正底下出发，以1.4m/s的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.,s,1.4t,例题讲解,1.1.2 导数的概念,1.1 变化率与导数,导数
4、的概念,本节重点：导数的定义本节难点：用导数的定义求函数的导数,【背景材料】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h(t)4.9t26.5t10.,问题探究,通过计算运动员在0s到 s时段内的平均速度是0.你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？,设t2时的时间增量为t，那么运动员在t时间段的平均速度如何计算？,问题探究,在t2附近的时段内，当时间间隔|t|无限变小时，平均速度就无限趋近于一个确定的值13.1.,函数f(x)在xx0处的瞬时变化率是什么？,概念生成,数学上，函数f(x)在xx0处的瞬时变化率叫做函数f(x)在x
5、x0处导数，记作 f(x0)或y|x=x0，即,概念生成,对导数的定义要注意：第一：x是自变量x在x0处的改变量，所以x可正可负，但x0；y是函数值的改变量，可以为0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限因此，它是一个常数而不是变量；,如何求函数f(x)x2在x1处的导数？,新知探究,求函数f(x)在xx0处的导数有哪几个基本步骤？,第一步，求函数值增量：yf(xx)f(x0)；,第二步，求平均变化率：；,第三步，取极限，求导数：.,概念生成,分别与f(x0)有什么关系？,新知探究,例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.
6、如果在第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15（0 x8），计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.,f(2)3，说明在第2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降；,f(6)5.说明在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升.,例题讲解,例4 求函数 在x1处的导数.,例5 已知f(x0)2，求 的值.,原式1,例题讲解,1.函数的平均变化率是函数值增量与自变量增量的比值.,2.自变量增量x的值可以是正数，也可以是负数，但x0；函数值增量y可以为任意实数，当y0时，平均变化率为零.,课堂小结,3.函数的平均变化率与自变量的初始值及其增量有关，它能刻画函数在某个区间内函数值的平均取值情况，但不能反映函数在区间内各点的函数值.,课堂小结,4.导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如生产效率、增长率，气球的瞬时膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实际问题中有着广泛的应用.,5.根据导数的定义求导数，就是求平均变化率的极限，即求，其中对平均变化率的恒等变形，是运算的主要内容.,课堂小结,P10习题1.1A组：1，2，3，4.,课堂小结,
