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1、 弹簧的等效质量,在图示中，设弹簧k具有质量，其单位长度的质量为，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。,图示 弹簧等效质量系统示意图,2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,设质量 的位移用 表示，弹簧的长度为，那么距左端为 的质量为 的微单元的位移则可假设为，设 为常数。,根据Lagrange方程,则系统的动能和势能可分别表示为,2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,可得,此处 称为等效质量。,可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到,上式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按 规律变形的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同
2、。,2.3 有阻尼单自由度体系自由振动,2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动,简谐激励:激励力函数表示成三角函数的形式,(1),1.运动方程的解,设,(2),将(2)式代入(1)式,衰减振动的响应,设静变形,动力放大系数：表示振幅相对于静变形的放大倍数。,稳态响应,初位移、初速度引起的自由振动分量,动荷载激起的按结构自振频率振动的分量,称为伴随自由振动,纯受迫振动,2.有阻尼受迫振动的特点,(1)稳态受迫振动的频率等于激振频率(2)稳态受迫振动的振幅X与初始条件无关,且不随时间变化(3)幅频响应特性曲线:根据 之间 的关系式可画出它们之间的关系曲线,称为幅频响应特性曲线.(4)当,-共
3、振,增函数,减函数,(5),激励力可作静载荷处理,为避开共振 一般应大于1.25或小于0.75.,随 增大而减小,阻尼在共振区内影响显著,在共振区外可不计阻尼.,的最大值并不发生在,位移滞后于荷载,(6)由,(7).有阻尼受迫振动时动位移和激振力的相位不同,当时，无论阻尼比为何值，位移相应滞后的相位差总是等于 即 这是共振的另一个重要的特征相位共振法可测定系统的固有角频率,对于无阻尼的情况：,2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动,z=0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99,w=2,x0=1,v0=0,tf=100 激振频率=0.5,F0=10SDT1_3
4、(0.0001,0.1,0.2,0.3,0.5,0.7,0.9,0.99,2,0.5,10,100),2.4简谐激励下有阻尼单自由度系统的受迫振动,拍振现象,当 时,通解为,当激振频率与固有频率较接近时，设：,拍振现象,由于 小量，上式第二项为零，且,t,x(t),练习,书上习题2-31,练习,车辆（或飞机降落滑行）以等速驶过一凹坑，一连续凹坑视为简谐激励(凹坑可视为半波正弦脉冲)，试建立运动方程。,2.5 周期激励下的动力响应,周期荷载P(t)（设周期为Tf）下的稳态反应 周期荷载的Fourier展开为,也可写成,其中,2.5 周期激励下的动力响应,这表明，周期荷载可分解成一个常量荷载和一系
5、列简谐荷载的叠加。在a0/2作用下产生xst=a0/2k的静位移。在aicosit和bisinit简谐荷载下（稳态解）,2.5 周期激励下的动力响应,2.5 周期激励下的动力响应,谐波分析法,谐波分析法：将周期激励力展成傅里叶级数的分析方法称为谐波分析法。频谱图：以各阶频率为横坐标，做出 离散图形称作频谱图。,频谱分析法：根据频谱图分析周期激励力的响应状况称作频谱分析法。,可见，一个周期振动过程可视为频率顺次为基频1 及其整数倍的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。,这些分量依据n=1，2，3,分别称为基频分量、二倍频分量、三倍频分量等。基频分量有时称为基波，n倍频分量则称为n次谐波。,周期
6、函数的的频谱总是由若干沿f轴离散分布的普线组成，普线长度分别代表频率分量的幅值和初相位。,以f（或）为横坐标，cn和n为纵坐标，得到的cnf 和 n f 图分别称为幅值谱和相位谱，统称为傅里叶频谱。,2.5 周期激励下的动力响应,例-1有一振动波形，经傅里叶分解后，其表达式为该波形只有两个简谐分量，它的频谱图见图(b)、(c)。,2.5 周期激励下的动力响应,我们在图(a)中同时给出了该振动量随时间变化的曲线。图(a)称为振动的时间历程曲线，为时域曲线；图(b)及图(c)则为同一振动量的频域表达法。,2.5 周期激励下的动力响应,例-2已知 一周期性矩形波如图所示,作用在单自由度系统上,刚度为
7、k,(1)试对其作谐波分析(2)求稳态响应,T,F(t),F0,-F0,t,2.5 周期激励下的动力响应,2.5 周期激励下的动力响应,T,F0,-F0,2.5 周期激励下的动力响应,作业：2-33、2-41、2-48,2.6 转子系统临界转速的概念,图2.6-1 单盘转子示意图,图2.6-2 圆盘的瞬时位置及力,设有一转子如图2.6-1所示，其中Oxyz是固定坐标系，无质量的弹性轴的弯曲刚度为EJ，在跨中安装有质量为m的刚性薄盘。,由于材料、工艺等因素使圆盘的质心偏离轴线，偏心距为e。当转子以等角速度自转时，偏心引起的离心惯性力将使轴弯曲，产生动挠度，并随之带动圆盘公转。,由材料力学可知，对
8、于图2.6-3所示的模型,图2.6-3,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-1）,（2-2）,设圆盘在瞬时t 的状态如图2.6-2所示，这时弹性轴因有动挠度 而对圆盘的作用力为，它在坐标轴上的投影分别为,根据质心运动定理，可得,由图2.6-4的几何关系知,对上式求两次导数，可得,设圆盘在运动中受到粘性阻尼力的作用，它的两个分量为,图2.6-4,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,把（2-6）代入（2-4），得到转子模型的运动微分方程,可改写为,式中,（2-8）,把（2-8）式与有阻尼单自由度系统的受迫振动运动方程作一比较，显然两者在数学形式上是完全
9、相同的。,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-7）,把（2-9）代入（2-8）中，得到,由此可见，O点绕固定坐标系的Oz 轴在作圆周运动。,因此引用其求稳态解的方法，设,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-9）,（2-10）,可见圆周运动的半径就是轴的动挠度r，角速度等于轴的自转角速度，因为有阻尼，动挠度与偏心之间存在相位差。即有,（2-12）,对照几何关系,2.6 转子系统临界转速的概念,（2-11）,根据（2-10）式可绘出在不同 值时，r和 随值变化的曲线，分别如图2.6-5与图2.6-6所示。,图2.6-5 转子动挠度的幅值-转速曲线(左),图2.6-6 转子动挠度的相位-转速曲线
10、(右),2.6 转子系统临界转速的概念,由于的存在，在一般情况下，O、O和 C三点并不在一条直线上，而总是成一个三角形 OOC，而且OOC 的形状在转子以等角速度 旋转过程中保持不变。,当n时，这三点又近似在一直线上，但点C 位于 O和 O之间，即所谓圆盘的轻边飞出，这种现象称为自动定心，也叫偏心转向。,只有当 n时，0，这三点才近似在一直线上，O 点位于 O和 C之间，即所谓圆盘的重边飞出。,2.6 转子系统临界转速的概念,根据国际标准，临界转速定义为：系统共振时发生主响应的特征转速，在这里就是使动挠度 取得极值的转速，r于是可利用条件,（2-13）,来确定临界转速，并以Cr 表示。由（2-
11、12）式得,由此解得,（2-14）,2.6 转子系统临界转速的概念,可见外阻尼总使得转子的临界转速稍大于其横向自然频率，这在图2.6-7中也可以看出，各曲线的峰值都偏在=n 线的右边，这一点应特别注意。,图2.6-7 转子动挠度的幅值-转速曲线,2.6 转子系统临界转速的概念,实际转子系统总存在一定阻尼，动挠度不会无限大，但比一般转速下的动挠度大得多，足以造成转子破坏，因此，工程上要严格避免转子在临界转速附近工作。可见，正确的临界转速分析计算，在转子设计和处理实际问题中都很重要。,对于小阻尼情况:,（2-15）,对于无阻尼的理想情况，即=0，在临界转速时，动挠度r 将达到无限大。而相位角在临界转速之前为零，之后为，即在临界转速前后有相位突变，O、O和 C三点始终在一条直线上。,2.6 转子系统临界转速的概念,为了形象地表示自动定心（偏心转向）及在临界转速时的相位差，把 O、O及 C三点在不同转速时的相对位置表示在图2.6-8上。,图2.6-8 在不同转速时的偏心位置,2.6 转子系统临界转速的概念,
