《复变函数与积分变换53留数在定积分计算上的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换53留数在定积分计算上的应用.ppt（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分，变量 x 定义在闭区间 a,b(线段)，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1.形如 的积分,其中R(cosq,sinq)为 cosq与sinq 的有理函数.,令 z=eiq,则 dz=ieiq dq,而,其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上
2、分母不为零,根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点.,例1 计算 的值.,解 由于0p1,被积函数的分母在0q 2p内不为零,因 而积分是有意义的.,由于cos2q=(e2iq+e-2iq)/2=(z2+z-2)/2,因此,在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内,其中z=0为二级极点,z=p为一级极点.,例2 计算 的值.,解：令,例 3,解：,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断
3、增大而有所改变.,例 4,例 5,解：,3.形如 的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(x)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有,因此,在半径R充分大的CR上,有,也可写为,例6 计算 的值.,解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,例4 计算积分 的值.,解 因为 是偶函数,所以,为了使积分路线不通过原点,取如下图所示的路线.由柯西积分定理,有,令x=-t,则有,因此,要算出所求积分的值,只需求出极限,下面将证明,由于,所以,j(z)在z=0处解析,且j(0)=i,当|z|充分小时可使|j(z)|2,而,由于,在r充分小时,例题,
