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1、12.2 积分基本定理,1 Cauchy积分定理,2 复合闭路定理,3 典型例题,定理12-2(柯西-古莎定理)如果f(z)是单连,说明:该定理的主要部分是Cauchy 于1825 年建立的,它是复变函数理论的基础.,通区域 D上的解析函数，则对D内的任何一条,闭曲线C,都有,Cauchy积分定理,解 因为函数,例1 计算积分,在 上解析,所以根据Cauchy积分定理,有,解,根据Cauchy积分定理得,例2 计算积分,解析函数的原函数,1 原函数的概念,2 Newton-Leibniz公式,一.原函数的概念,原函数之间的关系:,定义1 设f(z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函
2、数F(z)使得 在D,内成立，则称F(z)是f(z)在区域D上的原函数.,如果f(z)在区域D上存在原函数F(z),则f(z)是,解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.,定理1 设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原,函数,则(常数).,那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为,根据以上讨论可知:,证明 设F(z)和G(z)都是f(z)在区域 D上的,所以,为常数.,原函数,于是,如果F(z)是f(z)在区域 D上的一个原函数，,(其中C是任意复常数).,证明 可利用,定理2 设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是D内以z0为起点,z为终点的,分段光滑(或可
3、Cauchy积分定理证明求长)曲线,则积分,只依赖于z0与z,而与路径 C 无关.,Cauchy积分定理来证明.,设C1与C2都是以D内以z0为起点,z 为终点的,分段光滑曲线,又不妨设C1与C2都是简单曲线.,如果 C1与C2除起点和,终点之外,再没有其他重点,则 是简单闭曲线,根据Cauchy定理有,如果C1与C2除起点和,终点之外,还有其他重点,在D内再做一条以z0为起点,z 为终点,除起点和终点之外,与C1与C2没有其他,重点的分段光滑曲线,则由已证明的情形,如果 f(z)在单连通区域D内解析,则f(z)在以,z0为起点,z为终点的D内的分段光滑曲线C上积分,积分值与积分路径无关，即可
4、记为,于是确定了D内的一个单值函数,定理3 设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点,则,是 f(z)在D上的一个原函数.,与微积分学中对变上限积分求导定理相同.,二.Newton-Leibniz公式,定理4 设f(z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是 f(z)在D上的原函数,z0和z1是D内的两点,则,证明 因为 也是f(z)在D上的原函数,根据,其中 C为常数,易见,说明:有了上述定理,复变函数的积分就可以用,与微积分学中类似的方法去计算.,George Green(1793.7.14-1841.5.31),自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将,数学方法应用到电磁
5、理论和其他数学物理问题.,1928年出版了出版了小册子数学分析在电磁,学中的应用,其中有著名的Green公式.,40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学,教授.,他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其,中包括G.Stokes和C.Maxwell.,Isaac Newton,(1642.12.25-1727.3.20),伟大的英国物理学家和数学家.,1661年,进入剑桥大学三一学院学习.,大学毕业后,在1665和1666年期间,Newton 做了,具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力,和光的分析.1687年发表自然哲学之数学原理.,1669年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学,
6、会会长,1705年被英国女王授予爵士称号.他还担,任过造币厂厂长.,Nature and Natures laws lay hid in night,God said,“Let Newton be!”,and all was light.,Newton说:“我不知道世人怎样看我,我只觉得,自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑,的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然,在我的前面未被发现.”,我是站在巨人的肩上.,I.Newton,英国诗人A.Pope赞美Newton的:,Gottfried Wilhelm Leibniz,(1646.6.21-1716.11.14),德国数学家
7、.他还是外交家、哲,学家、法学家、历史学家、语言学,家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、,数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方,面做了重要的工作.,1666年他撰写了一般推理方法的论文论组合,的艺术,获得哲学博士学位,并被任命为教授.在,1672年因外交事务出使法国,接触到一些数学家,开始深入地研究数学,特别是1673年开始研究微,积分,从1684年起发表微积分论文.他是历史上,最大的符号学者之一,所创设的微积分符号,远,优于Newton的符号,很多一直沿用至今.,Leibniz多才多艺,他在1671年左右制造出一,种手摇计算机,甚至研究过中国古代哲学.,Newton和Leibn
8、iz是微积分的奠基者,从那时,起,数学乃至几乎所有科学领域开始了新纪元.,复合闭路定理,函数,那么,其中C和Ck(1kn)取正向.,如果 f(z)是 D上的解析,的简单闭曲线,都在C 的内部,它们,边界的闭区域含于D内.,证明 不妨设n=2.作两条辅助线(如图).,围成单连通区域.,f(z)在G 所围的区域内解析,由,当 n 为其它值时，可同样证明.,在公共边界(辅助线)上,积分两次,方向,相反,积分值之和等于0.所以,典型例题,解 显然函数,在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G 包含了这两个奇点.,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2 只包含,奇点1.,根据,解 显然C1和C2围成一,个圆环域.函数,在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界,构成复合闭路,所以根据,解 因为z0在闭曲线G 的内部,任意分段光滑的简单闭曲线,n为整数.,故可取充分小的正数r,使得圆周,含在G的内部.,故,这一结果很重要.,
