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1、第二章 解析函数,1 解析函数的概念,2 函数解析的充要条件,3 初等函数,1 解析函数的概念,1.1 复变函数的导数与微分,注 z0+z 趋于 z0 的方式是任意的.,存在，则称 f(z)在点 z0 可导，此极限称为 f(z)在点 z0 的导数，记作,导数 设函数 w=f(z)在区域 D 内有定义，z0 为D 内一点，且 z0+z 也属于 D.若极限,2,3,若函数 f(z)在区域 D 内处处可导，则称 f(z)在 D 内可导.,可导的性质1）可导必连续；2）复变函数的求导法则可以由实函数的求导法则平行推得.,和差积商、复合函数、反函数,4,设函数 w=f(z)在 z0可导,则有,5,1.2
2、 解析函数及其简单性质,解析函数 若函数 w=f(z)在点 z0 的邻域内处处可导，则称 f(z)在点 z0 解析.若函数 w=f(z)在区域 D 内处处可微，则称 f(z)在 D 内解析，或称 f(z)为 D 内的一个解析函数（或称正则函数、全纯函数）.,奇点 若函数 f(z)在点 z0 不解析，则称 z0 为 f(z)的奇点.,注 f(z)在区域 D 内（处处）解析和在 D 内（处处）可导是等价的；但 f(z)在某点处解析比在某点可导要强得多.,6,区域 D 内解析函数的性质（1）两个解析函数的和差积商（除去分母为0的点）仍解析，且满足数分中类似的求导法则；（2）两个解析函数的复合函数在其
3、定义域内仍解析，且满足复合函数的求导法则：,例,7,柯西-黎曼方程（C.-R.方程）,1.3 函数解析的充要条件,8,f(z)在点,的导数公式,9,推论2.1（可微的充分条件）设函数,在区域 D 内有定义，则 f(z)在 D 内一点可微的充分条件是,例 判断下列函数的解析性.,例 设函数,10,知识回顾,导数 设函数 w=f(z)在区域 D 内有定义，z0 为D 内一点.,11,解析 若函数 w=f(z)在点 z0 的邻域内处处可导，则称 f(z)在点 z0 解析.,称 f(z)在 D 内解析，若函数 w=f(z)在区域 D 内处处可微。,柯西-黎曼方程（C.-R.方程）,导数公式,函数,在
4、D 内一点 z 可微,函数,在 D 内一点 z 可微,函数,在 D 内解析,函数,在 D 内解析,例 判断下列函数的解析性.,3 初等函数,3.1 指数函数,复指数函数的性质：,数的定义是一致的；,16,17,17,3.2 对数函数,方程 的所有根为,在(1)式中，对每一个固定的 k，它都是一个单值函数，称为 的一个分支.,18,注 正实数的复对数也是无穷多值的；在复数域内，负数无实对数.,对数函数的基本性质,注,不成立！,19,对数函数的解析性,在除去原点和负实轴的平面内解析，且有,在除去原点和负实轴的平面内解析.,20,3.3 幂函数,21,它的各个分支在除去原点和负实轴的平面内解析，且有,22,3.4 三角函数与双曲函数,正弦函数,余弦函数,23,24,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,双曲正弦,双曲余弦,双曲正切,25,3.5 反三角函数和反双曲函数,反正切函数,反正弦函数,反余弦函数,
