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1、1,第四章 多變數函數的微分學 4.1 偏導數定義定義 4.1.1 極限值,2,定理4.1.1 極限值的基本定理(1)極限值的唯一性:若 存在，則 其值必為唯一。(2)若 且(與 為常數)，則 且 為常數且,3,(3)若 為多項式函數，則(4)若 為有理函數，則 其中 與 均為多項式函數 且。(5)若 存在且點 以及點，則 反之亦然。,4,一般而言，我們可以利用下面所提供的方法判斷極限值是否存在:若點 及點，則(1)若 且，而且，則 不存在。(2)若，則 不存在。(3)若，則 不存在。,5,例1.試求下列各題的極限值。(1)若函數 但，試決定。(2)若函數 但，試決定。(3)若函數 但，試決定
2、。(4)若函數 但，試決定。,6,解:(1)我們考慮通過原點之直線 上的點，則 若，則我們有 若，則我們有 得知 不存在,7,(2)我們考慮通過原點之直線 上的點，則,8,(3)我們考慮通過原點之直線 上的點，則 若，則我們有 若，則我們有 得知 不存在,9,(4)我們考慮通過原點之直線 上的點，則 若，則我們有 若，則我們有 得知 不存在,10,定義4.1.2 連續 函數 在點 連續 在上面的定義裡，我們有明確的數學定義，即 此時必須滿足下列三個條件:(1)函數值 存在(即點 必定在函數 的定義 域內)。(2)極限值 存在。(3)(即“極限值等於函數值”)。當然，倘若函數 在其定義域 中的任
3、意點均連續，則稱函數 在 中為連續函數。,11,定理4.1.2 連續的基本性質(1)倘若 與 在點 均為連續函數，則 與 與 以及(為常數且)在點 均為連續函數。(2)倘若 為單變函數且 為多變數函數，使得 在點 連續且 在 連續，則合成函數 亦在點 連續。(3)多變數多項式函數與多變數有理函數在它們的定義 域內均為連續函數。,12,例3.試討論下列各函數的連續性。(1)若 且(2),13,解:(1)點 的定義域 又 考慮通過原點之直線 上的點，則 在點 之外均為連續。,14,(2)點 的定義域，且 又 在任何實數點 均為連續。,15,4.2 偏導數與微分 定義.2.1 第一階偏導數 假設函數
4、 被定義在點 的某個鄰 域 內，則函數 在點 對 的第一 階偏導數為 而函數 在點 對 的 第一階偏導數為,16,定義4.2.2 第一階偏導數 假設函數 的定域義為，則函數 對 的第一階偏導數為 而函數 對 的第一階偏導數為 同理，函數 對 的偏導數為。事實上，的偏導數還有其它的通用符號:,17,例1.試求下列各函數的第一階偏導數。(1)解:(1),18,定理 倘若 為包含兩個自變數的函數，則 與 亦為包含兩個自變數的函數，而且 與 的第一階偏 導數 亦存在。定理.2.1 裡四個函數稱為函數 的第二偏導數，其常用的符號為,19,同理，多變數函數的高階導數亦有其明確的定義，例如倘若 為包含三個自
5、變數的函數，則我們將有九個第二階導數以及二十七個第三階導數，其他情況依此類推，例如,20,例2.若，試求，與 解:,21,定理 假設 為包含兩個變數的函數，倘若 與 在二度空間某開區域 為連續，則;同理，倘若函數 的高階偏導數在某開區域 為連續，則，同理，倘若 的高階偏導數為連續函數，則我們有,22,例3.若，若 而且，試 證明 與 均存在但不相等。證明:,23,我們得證,24,定義4.2.3 可微分(的)假設 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域，倘若存在常數 以及 與 的函數 與，使得對任意向量 且 而言，恒有(1)。(2)當。則稱函數 在點 為可微分的。,25,定義4.2.4 微分 假設
6、 為 與 的函數且定義在點 的某個鄰域，倘若存在常數 以及 與，則對任意向量 且 而言，我們稱函數 在點 的微分或全微分為 因此，假設 為 與 的函數，而且其第一階偏導數 與 均存在，則函數 的全微分為,26,例4.試求函數(即)在各 定點 與向量 的全微分。解:,27,定理 倘若函數 在點 為可微分的(differentiable)，而且，則 證明:且 當 時我們有#,28,由定理，我們因此得到 亦即我們有 其中。,29,例5.試利用微分法求 的近似值。解:設 則,取 則 即,30,例6.一等腰三角形的三邊長為 呎、呎、呎且其頂角為 弳。倘若把此三角形的兩等腰 長增加一吋且頂角增加 徑，試問
7、其面積 改變若干?解:兩腰長為 且頂角為 之等腰三角形的面積為 取 則其面積的改變量為 平方呎,31,例7.倘若，若 而且，試證明 與 均存在，但是函數 在點 是不可 微分的。證明:取,32,則 即不存在 由定理得知 在點 為不可微分的。,33,定理 倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點 為連續。證明:函數 在點 為可微分的 取，則由定理得知 即由定義得知函數 在點 為連續。#,34,定理 假設 為二變數函數且定義在點 的某個鄰 或。倘若其一階偏導數 與 在 存在且在點 為連續函數，則函數 在點 為可微分的。總之，倘若 為多變數函數，則我們得知(1)倘若函數 在點 為可微分的，則函數 在點
8、 為連 續。(2)倘若函數 的一階導數存在且在點 為連續，則函數 在點 為可微分的。即，若 與 均連續，則 必 可微分。(3)倘若函數 的二階導數為連續函數，則;倘 若函數 的三階導數為連續函數，則有，高階導數則依此類推。,35,4.3 鏈導法則與隱函數的導數(the chain rule)定義 若 為 之一可微分函數，而 又為 之可微分函數，則 於 的導數存在，而且為 定義7.3.2 偏微分(偏導數)若 為 之一可微分函數，令 而且 對於 之偏微分均存在，而且為;,36,定理4.3.1 鏈導法則(the chain rule)(1)若 為 與 之一可微分函數，而且 及 均為 之可微分函數，則
9、 對於 而言均為 可微分函數，而且為(2)若 為 與 之一可微分函數，令 與 而且 與 對於 之偏微分均存在，則 對於 之一階偏導數均存在，而且為,37,由上面定理 4.3.1 得知，如果 而且，則我們有;同理，如果 而且，則我們有,38,例1.試求，若 解:,39,例2.試求 與，若 解:,40,例3.倘若我們有 試求 解:,41,定理4.3.2 隱函數的導數(1)若 為 與 之一可微分函數，且 為 之一可微分函數，則 對於 而言為一微分 函數，而且 以及,42,(2)若 為 與 以及 之一可微分函數，且 為 與 之一可微分函數，則 對於 與 而言為一可微分函數，而且 以及,43,例4.若
10、滿足方程式 試求 與 解:令 則,44,定義4.4.1 極值(extrema)設 為二變數函數，為 定域義的子集合且 為 上一點，則(1)當，我們稱 為函數 在 的極大值(maximum value)。(2)當，我們稱 為函數 在 的極小值(minimum value)。(3)當 為函數 在 的極大值或極小值，我們稱 為 在 的極值(extreme value 或 extremum)。,45,定義4.4.2 相對極值(relative extremum)設 為二變數函數，而且存在以 為半徑且以點 為圓心之點 的鄰域，則(1)若，我們稱 為函數 在 的相對極大值(relative maximum
11、 value)或 局部極大值(local maximum)。(2)若，我們稱 為函數 在 相對的極小值(relative minimum value)或 局部極小值(local minimum)。(3)若 為函數 在 的相對極大值或相極小值，則我們稱 為函數 在 的相對極值或局部 極值。,46,定義4.4.3 絕對極值(absolute extremum)設 為二變數函數且定義域為 以及點，則(1)若，我們稱 為函數 的絕對 極大值(absolute maximum)。(2)若，我們稱 為函數 的絕對 極小值(absolute minimum)。(3)若 為函數 的絕對極大值或絕對極小值，則我
12、 們稱 為函數 的絕對極值。,47,定理4.4.1 極值檢驗法(test for extrema)設 為二變數函數且定義域為一開集合(open set)，而且在 內函數 的第一階與第二階偏導數均為連續。令函數 的定義域為 且，倘若存在一點 使得 與，則(1)若 且，則 為函數 的相 對極大值。(2)若 且，則 為函數 的相 對極小值。(3)若，則，則 不為函數 的 極值，此時 為函數 圖形上的一馬鞍點(saddle point)或稱為鞍點。(4)若，則無法判斷 是否為函數 的極 值。,48,例1.試求下列各函數的極值。(1)(2),49,解:(1)且 令 且令 與 則 或 不為 的極值且 為
13、圖形上的一鞍 點。且 為 的相對極小值。,50,(2)令 且令 與,51,則 且 且 且 或 或 無法判斷 下否為 的極值。且 為相對極大值。,52,例2.試求點 與平面 之間的最短距離。解:設平面 上的一點，而且設點，則我們有 由 得到 令函數,53,且 令 與 平面 上點 與點 有最短的距離為,54,例3.欲製造一具能容納 立方 米液體之無蓋長方體容器，則長、寬、高各為多少 米，可使表面積材料為最 少?解:設此長方體容器的長、寬、高分別為、米，則體 積為 依題意，使用最少的材料做此長方體意謂求表面積 的 極小值。,55,N525;,令 且令 與 此長方體底為一正方形且高為底之邊長的一半時 可使用最少的材料，此時長為 米、寬為 米、高為 米。,
