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1、,第五节,一、曲面方程的概念,二、几种常见的曲面及其方程,2.柱面,曲面及其方程,第十章,1.旋转曲面,三、二次曲面简介,3.圆锥面,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例,解 设轨迹上的动点为,轨迹方程.,1.定义,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,曲面在空间解析几何中被看成是
2、点的几何轨迹,例1,当M0在原点时,解 设轨迹上动点为,依题意,距离为 R 的轨迹方程。,表示上(下)球面.,求动点到定点,例2,解 配方得,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),其图形可能是,表示怎样的曲面。,半径为,的球面.,球心为,一个球面,或点,或虚轨迹.,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,2.两个基本问题,以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：,二、几种特殊的曲面及其方程 1.平面,2.球面,3.旋转曲面,旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定
3、直线叫旋转曲面的轴,如图，,将 代入,转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征：,得旋转曲面 的方程：,绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：,出现某两变量的平方和.,(3)常见的旋转曲面,圆柱面：,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,O,绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：,双叶双曲面,单叶双曲面,绕z轴旋转而成的曲面：,旋转双曲面,双叶双曲面,单叶双曲面,旋转椭球面,绕 y 轴旋转而成的曲面：,旋转椭球面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成
4、的曲面：,旋转抛物面,(1)定义,观察柱面的形成过程:,平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.,这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线.,4.柱面,注.,柱面的准线不唯一.,(2)母线平行于坐标轴的柱面方程的特征,方程中缺少一个变量(该坐标轴的变量),如：,表示母线/z 轴的柱面.,M,M1,类似地，,表示母线/x 轴的柱面.,表示母线/y 轴的柱面.,小结：,（其他类推）,常见的柱面,椭圆柱面,母线/轴,双曲柱面,母线/轴,抛物柱面,母线/轴,特殊柱面：平面,三、二次曲面简介,三元二次方程,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛
5、物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),2.抛物面,（1）.椭圆抛物面,(p,q 同号),特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,（2）双曲抛物面（鞍形曲面）,(p,q 异号),用截痕法讨论：,设,1)用坐标面,均可得抛物线.,与曲面相截,2)用坐标面,与曲面相截,均可得抛物线.,3)用,与曲面相截,可得双曲线.,与曲面相截可得两条直线.,用坐标面,3、双曲面,（1）.单叶双
6、曲面,椭圆.,时,截痕为,平面,上的截痕情况:,双曲线:,时,截痕为,相交直线:,(2).双叶双曲面,双曲线,椭圆,双曲线,1.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,思考题,解,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,内容小结,1.空间曲面,三元方程,2.球面,3.旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,4.柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,(旋转曲面的概念及求法).,(母线、准线).,例1,直线,绕 z 轴旋转一周,求此旋,转曲面的方程.,解,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面
7、方程,备选题,解,根据题意有,所求方程为,根据题意有,化简得所求方程,解,2.,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,3.,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
8、,这条定直线叫旋转曲面的轴,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
9、,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,3.旋转曲面,(1)定义,一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.,这条定直线叫旋转曲面的轴,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,直线 L
10、 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,圆锥面
11、：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面
12、方程,圆锥面：,直线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的顶点,两直线的夹角(0 叫圆锥,面的半顶角.试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为 的圆锥面方程,圆锥面：,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,绕 z 轴旋转而成的曲面：,旋转抛物面,旋转抛物面,
