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1、1,第 六 章,定 积 分 的 应 用,2,第六章 定积分的应用,这个方法通常叫做元素法,1.根据具体情况，,选取积分变量，,确定x的变化,区间a,b.,2.把区间a,b分成n个小区间，,取一代表区间,求出该区间上所求量的部分量的近似表达式,量U的微分元素.,3.写出定积分的表达式：,先作图,用元素法求量U的一般步骤：,3,使用元素法时应注意：,则U相应地分成许多,即如果把区间,a,b分成许多部分区间，,部分量，,而U等于所有部分量之和.,则U在a,b 上的值可由定积分,示为,(3)在a,b中任取的小区间,上的部分量,来计算.,4,一、定积分在几何学上的应用,1.直角坐标系下平面图形面积的计算
2、,（1）设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A,(2)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,5,(3),为曲边，,以,以c,d为底的曲边梯形,(4)由曲线,所围图形的面积.,其面积元素为：,则面积为,的面积A.,6,2.极坐标系下平面图形面积的计算,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,7,3.已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则在小区间,的体积元素为,立体体积为：,上连续,A(x),x,a,V,b,8,曲边梯形,旋转一周围成的旋转体的体积
3、为：,曲边梯形,绕 y 轴旋转一周围成的旋转体体积为：,4.旋转体的体积,9,a,b,f(x),y,x,0,x,dx,求旋转体体积 柱壳法,.,曲边梯形 y=f(x)，,x=a,x=b,y=0,旋转的体积.,绕 y 轴生成的,10,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,dx,dV=,2 x f(x)dx,f(x),曲边梯形 y=f(x)，,x=a,x=b,y=0,旋转的体积.,求旋转体体积 柱壳法,绕 y 轴生成的,11,围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积.,所以：由连续曲线,直线x=a、x=b(ab)及x轴所,类似地，,如果旋转体是由连续曲线,直线,及,轴所围成的曲边梯形绕,轴
4、旋转一周,而成的立体的体积.,12,例 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形绕 y 轴旋转而成的立体体积.,13,说明:用柱壳法求 较好,柱壳体积,柱面面积,14,5.弧长(数1、数2),（2）参数方程,（3）极坐标方程,注意:求弧长时积分上下限必须上大下小,15,6.旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.,积分后得旋转体的侧面积,取侧面积元素:,(数1、数2),16,侧面积元素,的线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积S 的,注意:,侧面积为,17,解,18,y+dy,y,o,y,x,d,c,o
5、,y,x,X型,Y型,请熟记以下公式：,19,解,典型例题分析,20,r,圆极坐标方程,直角坐标方程,y,圆极坐标方程,直角坐标方程,圆极坐标方程,直角坐标方程,21,双纽线,心形线,阿基米德螺线,22,解,23,解,24,例4 计算抛物线,与直线,一周而成的旋转体的体积.,所围图形,绕 x 轴旋转,解,如图,25,解,取积分变量为y,P,体积元素为,求由曲线,及y=0所围成的图形绕直线,x=3旋转构成的旋转体的体积.,例5,26,所围图形绕 旋转而成的,旋转体的体积.,分析：无公式可用，用元素法.如图,例6.求由 及,解法1：选择 y 作积分变量,解法2：选择 x 作积分变量,27,1.设切点的横坐标为,则所求切线方程为,由切线过原点知,故切线方程为,28,
