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1、1,课程名称,复变函数与积分变换,教 材,复变函数(四版)高教出版社,积分变换(四版)高教出版社,总 学 时,48学时（42学时）,教师姓名,蒋 礼,课程简介,;,2,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。,复数与复变函数、解析函数、,3,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。,4,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使
2、负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。,5,复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变
3、函数，(1826-1866)研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。,6,第一讲复数,7,1复数及其代数运算2 复数的表示方法 3 复数的乘幂与方根,8,一、复数的概念,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,9,2.复数:,10,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个数如果都
4、是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.,11,二、复数的代数运算,1.两复数的和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,12,4.共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例2,解,13,5.共轭复数的性质:,以上各式证明略.,14,例,解,15,例,解,16,1.点的表示 2.向量表示法 3.三角表示法 4.指数表示法,2 复数的表示方法,17,1.点的表示,数z与点z同义.,18,2.向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边,以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z
5、0时),19,辐角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，,z=0时，辐角不确定。,20,当z落于一,四象限时，不变。,当z落于第二象限时，加。,当z落于第三象限时，减。,21,4.利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,22,5.复数和差的模的性质,23,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,6.复数的三角表示和指数表示,24,引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。,例1 用复数方程表示:（1）过
6、两点 zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆。,解（1）z=z1+t(z2-z1)（-t+）,25,26,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,注意.复数的各种表示法可以相互转化,以适应 不同问题的需要.,27,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,28,二、复球面,1.南极、北极的定义,29,球面上的点,除去北极 N 外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示.,
7、球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,2.复球面的定义,30,3.扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,对于复数 来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,31,32,1.复数的乘积与商 2.复数的乘幂 3.复数的方根,3 复数的乘幂与方根,33,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,证明 设 z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+is
8、in2)=r2ei2 则 z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2e i(1+2),1.乘积与商,因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,34,几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。,定理1可推广到n 个复数的乘积。,35,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,36,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。,证明,Argz=Argz2-Argz1 即：,由复数除法的定义 z=z2/z
9、1，即 z1z=z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（z10）,37,设z=re i，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。,2.复数的乘幂,定义,38,问题 给定复数z=re i，求所有的满足n=z 的 复数。,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,39,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,40,例1,解,41,例,解,42,43,例4,解,44,即,45,例,证,利用复数相等可知:,46,等式得证.,47,思考题,复数为什么不能比较大小？,48,思考题答案,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,放映结束，按Esc退出.,
