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1、复变函数,工程数学,（第四版）,第一章 复数与复变函数,1 复数及其代数运算,2 复数的几何表示,3 复数的乘幂与方根,4 区域,5 复变函数,6 复变函数的极限与连续性,1 复数及其代数运算,1.复数的概念,2.复数的代数运算,1.复数的概念,定义：在实数范围,方程,是无解的.因此引进一个新数 i,称为虚数单位,规定,为复数,x,y 分别称为 z 的实部和虚部,记作,两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.,复数 z=0,指实部和虚部都是0.且复数不能比较大小.,2.复数的代数运算,当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致。,称上面二式右端为 z1,z2 的和,差与积。,称满足,与实
2、数一样，复数运算也满足交换律,结合律和分配律:,因此,共轭复数,把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个,共轭复数有如下性质：,复数称为共轭复数,与z 共轭的复数记作。,解,例1 设,，求,与,所以,解,例2 设,，求,与,所以,10,解,例 求满足下列条件的复数z:,(1)设,则,由,得,故,(2),则,证,例3 设,为两个任意复数，,或,证明,2 复数的几何表示,1.复平面,2.复球面,1.复平面,所以复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,此时,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴,两轴所在的平面,称为复平面或 z 平面.这样,复数与复平面上的点成一一,对应,从而使我们能借助几何语言和方
3、法研究复变函数,来表示，这是复数的一个常用表示方法。,问题。,在复平面上,复数 z 还与从原点指向点z=x+iy 的平面,长度称为z 的模或绝对值,记作,显然,还有下列各式成立,在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边,这时,有,一个,则,为任意整数),幅角不确定。,其中,可由右边关系确定：,由复数运算法则,两个复数,且成立不等式,加减法一致。如图,(三角不等式),原点上,还有。,，如果 z 不在负实轴和,的位置是关于实数轴对称的,因而,z1和z2的加减法和相应的向量的,利用直角坐标与极坐标的关系：,可以将 z 表示成三角表示式：,解,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。
4、,1)显然,。又 z在第三象限，,则,因此，z 的三角表示式为,z 的指数表示式为,2)显然,又,故z 的三角表示式为,z 的指数表示式为,19,解,例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。,1)显然,所以，,20,解,例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。,2)显然,所以，当,时，有,证,例2 设,又,为两个任意复数，证明：,所以,两边开方，应得到所要证明的三角不等式。,解,例3,因此，复数形式的参数方程为,将通过两点,由此得知由,取,形式的方程来表示。,的直线用复数,已知通过点,的直线可用参数方程,表示为,的直线段的参数方程可以写成,到,，得知线段,的中点为,23,解,例 将下列复数
5、化为三角表示式与指数表示式。,1)显然,所以，,24,解,例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式。,2)显然,所以，当,时，有,解,例4,设,求下列方程所表示的曲线：,或,1)从几何上看，方程表示所有与点i距离为2,，方程可变为,也就是,的点的轨迹，即中心为i，半径为2的圆。也可用代数,方法求出该圆的直角坐标方程。,所以,，那么,轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，它的,2)从几何上看，方程表示到两点距离相等的点的,方程为,。也可以用代数的方法求得。,3)设,从而立即可得所求曲线方程为,，这是一条平行于,x轴的直线。,27,解,例,求下列方程所表示的曲线：,点的轨迹，所以方程表示的曲线
6、是一条垂直平分线，它,1)从几何上看，方程表示到两点距离相等的,的方程为,。也可以用代数的方法求得。,的点的轨迹，所以方程表示的曲线是一条垂直平分线，,2)从几何上看，方程表示到两点距离之和为定值,它的方程为,。也可以用代数的方法求得。,28,解,例,求下列方程所表示的曲线：,3)从几何上看，方程表示 z 到1的距离与 z 到,的点集是实轴上的闭区间1,1。,1的距离之和为2，而1到1的距离也为2。因此 z 只,能在线段1,1上，即满足条件,另一点N。称N为北极，S为南极。,2.复球面,除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数。,取一个与复平面切于原点,的球面,球面上的一点 S
7、与,原点重合。通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于,对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交,于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点,有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作。,这样的球面称作复球面。,于复数来说，实部、虚部与辐角的概念均无意义，但,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。不包括,无穷远点在内的复平面称为有限平面，或称复平面。对,关于的四则运算作如下规定：,加法：,至于其它运算，不规定其意义。,乘法：,减法：,3 复数的乘幂与方根,1.乘积与商,2.幂与根,设有两个复数,.乘积与商,于是,那么,定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数
8、乘积的幅角等于它们幅角的和。,从而有,用指数形式表示复数:,并旋转一个角度，如图所示,相当于将z1的模扩大|z2|倍,则,则定理可以表示为：,由定理进一步可证，如果,当用向量表示复数时，,定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差。,由乘积公式有,于是,由此得,如果用指数形式表示复数：,定理二可简明地表示为：,。根据复数乘法，有,解,例1,即为所求的顶点,已知正三角形的两个顶点为,所以,求第三个顶点。,如图，将,旋转,类似可得,表示绕,或,得到另一个向量，它的终点,或,36,。根据复数乘法，有,解,例,向量，它的终点即为所求的顶点,已知等腰直角三角形
9、的两个底角的点分别为,所以,，求顶点。,如图，将,旋转,类似可得,表示绕,或,，长度再缩短,或,得到另一个,2.幂与根,则对任意正整数 n,有,n 个相同复数 z 的乘积称为z的 n次幂，记作，即,已知复数。,如 n为正整数,则一个复数的 n 次根不止有一个,而是,方根,，即,有 n 个,下面就来求出这个根,先不妨令,由棣莫弗公式有,于是,则上式成立，必有,由此，可得,当k为其他整数值代入时，这些根又会重复出现。,在几何上,不难看出：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点。,例如 k=n 时，,解,例2,求,因为,即,所以,这四个根是内接于中心在原点，半径
10、为,的圆的,正方形的四个顶点，且有,42,解,例,求,因为,即,所以,这四个根是内接于中心在原点，半径为,的圆的,正方形的四个顶点，且有,43,解,例,求方程,因为,即,所以,的所有根。,4 区域,1.区域的概念,2.单连通域与多连通域,1.区域的概念,平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆：,内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式,所确定的点集为z0的去心邻域。,设G为一平面点集,z0为G中任意一点。,内点：若存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点,开集：如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集。,区域：若平面点集D是一个开集，且是连通的，也就是,D中
11、任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接,起来，则称D为一个区域。,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,边界点：设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,则点P称为D的边界点。,区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的。,边界：D的所有边界点组成D的边界。,如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆,里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点 z 都满足|z|M,则称D为有界的,否则称为无界的。,满足不等式r1|z-z0|r2的所有点构成一个区域,而且,是有界的,区域的边界由两个圆周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成,称为圆环域。若在圆环域内去掉一个(或几个)点,它仍然,
12、构成区域,只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个),孤立的点所构成。,区域D与它的边界一起称为闭区域或闭域,记作。,无界区域的例子,y,y,上半平面：Im z0,角形域：0arg z,带形域：aIm zb,.单连通域与多连通域,在数学上,常用参数方程表示各种平面曲线。若 x(t),和 y(t)是两个连续的实变函数,则方程组,代表一条平面曲线,称为连续曲线。令,则此曲线可用一个方程,来代表。这就是平面曲线的复数表示式。,且 t的每一个值,有,这曲线称为光滑的,由几段依次相接的,光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线。,都连续,上,和,如果区间,重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan
13、)曲线。,如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C,称为简单闭曲线。,定义：,定义：,任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一,地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无,界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界。,复平面上的一个区域B,如果在其中任,就称为单连通域,一个区域如果不是单连,通域,就称为多连通域。,作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,一条简单闭曲线的内部是单连通域。,单连通域B具有这样的特征：属于B的任何,一条简单闭曲线，在B内可以经过连续的的,变形而缩成一点，多连通域则无这个特征。,5 复变函数,1.复变函数的定义,2
14、.映射的概念,1.复变函数的定义,定义,如果 z的一个值对应着w的一个值,则函数 f(z)是单值的；,定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复,数 z,就有一个或几个复数,数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作,否则就是多值的。集合G称为 f(z)的定义集合,对应于G,中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合。,的集合,如果有一个确,设G是一个复数,与之对应,则称复变,在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为,单值函数。,由于给定了一个复数,实数 x和y,而复数,u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(
15、z)相当,它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.,例如,考察函数,令,因而函数 w=z2 对应于两个二元函数:,就相当于给定了两个,亦同样地对应着一对实数,于两个关系式:,，则,2.映射的概念,定义,如用z平面的点表示自变量z的值,而用另一个,平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上,就可看做是把 z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面,上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换)。这个映射,通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射。如果G中的点z,被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象。,例如，函数,所构成的映射，是一个关
16、于实轴的,对称映射，把任一图形映成关于实轴对称的全同图形。,再如，函数,所构成的映射，可以把 z 平面上与,正实轴交角为,的角形域映射成 w 平面上与正实轴交角,为,的角形域。如下页图。,函数,函数,假定函数 w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数,值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应,着G中的一个(或几个)点。按照函数的定义,在G*上就确定,了一个单值(或多值)函数,反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射。,从反函数的定义可知,对任意的wG*,有,当反函数为单值函数时,也有,，它称为函数w=f(z)的,今后，不再区分函数与映射(变换)。若函数与它的,反函数都是单值的
17、，那么称函数是一一的。也称集合,G与G*是一一对应的。,6 复变函数的极限和连续性,.函数的极限,.函数的连续性,1.函数的极限,作当zz0时,f(z)A。如图,定义：,内，如果有一确定的数A存在,对于任意给定的,地必有一正数,则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作,设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域,相应,使得当,时有,或记,几何意义：,z0的充分小的,点 f(z)就落 A的预先给定的,邻域中。应当注意,z 趋向于 z0的方式是任意的,无论以,何种方式趋向于 z0,f(z)都要趋向于同一常数 A。,当变点z一旦进入,邻域时,它的象,证 必要性:,任给,，根据极限的定义有,如果,存在
18、,当,时，,或当,这就是说,时，,因此有,定理一 设,充分性:,如果,由极限定义，对于任给,，总存在,，使当,时，,而,则当,时，有,即,定理二,定理一将求复变函数的极限问题转化为求两个二元,，则,实变函数的极限问题。,由定理一，下面的极限有理运算法则对于复变函数,也成立。,如果,证,例,证明函数,令,由此得,，则,当,时的极限不存在。,。让z沿直线 y=kx趋于,零时有,显然，它随k的不同而不同，所以,不存在。虽然,，但根据定理一，,不存在。,此题也可用另一种方法证明。令,则,2.函数的连续性,如果 f(z)在区域D内处处连续,就说 f(z)在 D内连续。,定义,如果,定理三 函数,连续的充
19、要条件是,则说 f(z)在 z0处连续。,在,处,处连续。,和,在,例如，函数,在复平面内,除原点外处处连续，因为,除原点外是处处,连续的，而,是处处连续的。,由定理二和定理三，还可以推得接下来的定理四。,其中 P(z)和 Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点,也是连续的。,由以上定理,可以推得有理整函数(多项式),对复平面内所有的 z 都是连续的,而有理分式函数,2)若函数 h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在 h0=g(z0),连续,则复合函数 w=f g(z)在z0处连续。,定理四,1)在 z0连续的两个函数 f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续；,在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函,数 f(z)，在曲线上是有界的。即存在一正数M，在曲线上,还应指出，所谓函数 f(z)在曲线 C上 z0点处连续的,意义是指,恒有,67,解,例 求极限,68,解 因为,例 求极限,所以有,故有,
