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1、复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。,复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。,第一章 复数与复变函数,1.1复数及其表示法,一对有序实数（）构成一个复数，记为.,自变量为复数的函数就是复变函数,它是本课程的研究对象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,本章将在原有的基础上作简要的复习和补充;然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念,为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.,x,y 分别称为 Z 的实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),
2、.,称为 Z 的共轭复数。,与实数不同,一般说来,任意两个复数不能比较大小.,两个复数相等,他们的实部和虚部都相等,特别地，,1.代数形式:,复数的表示法,1)点表示,2)向量表示,-复数z的辐角(argument),记作Arg z=q.,任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足,-p q0p 的q0 称为Arg z的主值,记作q0=arg z.则,Arg z=q0+2kp=arg z+2kp(k为任意整数),0,x,y,x,y,q,z=x+iy,|z|=r,-复数z的模,当 z=0 时,|z|=0,而幅角不确定.arg z可由下列关系确定:,说明：当 z 在第二象限时，,2.指数形式与三角形式
3、,利用直角坐标与极坐标的关系:x=r cosq,y=r sinq,可以将z表示成三角表示式:,利用欧拉公式 e iq=cosq+i sinq 得指数表示式:,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),z在第三象限,因此,因此,2)显然,r=|z|=1,又,因此,练习：,写出 的辐角和它的指数形式。,解：,1.2复数复数的运算,设,z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,复数运算满足交换律,结合律和分配律:,1.四则运算,加减法与平行四边形法则的几何意义:,
4、乘、除法的几何意义:,定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复 数乘积的幅角等于它们幅角的和.,等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,的意思是等式的两 边都是无限集合,两边的集合相等,即每给定等式左边 的一个数,就有等式右边的一个数与之对应,反之亦然.,几何上 z1z2 相当于将 z2 的模扩大|z1|倍并旋转一个角度Arg z1.,0,1,例2：设,求：,解：,若取,则,若取,则,;,按照乘积的定义,当z10时,有,定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.,2.乘方与开方运算,1）乘方,De Moivre 公式：,2
5、）开方:,若满足，,则称w为z的n次方根，,记为,于是,推得,从而,几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆 的内接正n边形的n个顶点。,例2 求,解 因为,所以,即,四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.,1.3复数形式的代数方程与平面几何图形,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形.,例3 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形式的方 程来表示.解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为,因此,它的复数形式的参数方程为,
6、z=z1+t(z2-z1).(-t+),由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z=z1+t(z2-z1).(0t1),取,得知线段,的中点为,例4 求下列方程所表示的曲线:,解：,设 z=x+i y,方程变为,几何上,该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线,方程为 y=-x,也可用代数的方法求出。,O,x,y,-2,2i,y=-x,设 z=x+i y,那末,可得所求曲线的方程为 y=-3.,O,y,x,y=-3,1.4 复数域的几何模型-复球面,0,N,x1,x2,x3,o,z(x,y),x,y,P(x1,x2,x3),x
7、1,x2,x3,N(0,0,2r),除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.,对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.,扩充复数域-引进一个“新”的数:,扩充复平面-引进一个“理想点”:无穷远点.,约定:,1.4 区域,1.区域的概念,平面上以 z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆:|z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻域.,包括无穷远点自身在内且满足|z|M 的所有点的集合,其中
8、实数 M0,称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M 的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|M 的所有点称为无穷远点的去心邻域,也记作 M|z|.,设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集,平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:1)D是一个开集;2)D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来.,设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区
9、域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数 M,使区域 D的每个点z都满足|z|M,则称 D为有界的,否则称为无界的.,2.单连通域与多连通域平面曲线 在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组x=x(t),y=y(t),(atb)代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t)(atb)来代表.这就是平面曲线的复数表示式.,设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线,z(a
10、)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足 at1b,at2b 的 t1与 t2,当 t1t2而有 z(t1)=z(t2)时,点 z(t1)称为曲线 C的重点.没有重点的连续曲线 C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线 C的起点与终点闭合,即 z(a)=z(b),则曲线 C 称为简单闭曲线.,任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去 C 外,一个是有界区域,称为 C 的内部,另一个是无界区域,称为 C 的外部,C 为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.,定义 复平面上的一个区域 B,如果在其中任作一条简单闭曲线,
11、而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.,1.5 复变函数,1.复变函数的定义,定义 设 D 是复平面中的一个点集,称为复变函数.,其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数 u,v.,例如,考察函数 w=z2.令 z=x+iy,w=u+iv,则u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,因而函数 w=z2 对应于两个二元函数:u=x2-y2,v=2xy,在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.,2.映射的概念,函数 w=f(z)在几何上可以看做是把 z平面上的一个点集D(定义集合)变到 w平面
12、上的一个点集G(函数值集合)的映射(或变换).如果 D 中的点 z 被映射 w=f(z)映射成 G中的点 w,则 w 称为 z 的象(映象),而 z 称为 w 的原象.,x,u,D,G,Z,z,w,W=f(z),v,y,W,设函数w=z=x iy;u=x,v=-y,x,y,O,u,v,O,设函数 w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有 u=x2-y2,v=2xy,函数 w=z2 对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2-y2=c1,2xy=c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1,v=c2.,10,如果函数(映射)w=f(z)与
13、它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应的.,举例：曲线在映射下的像,例题1,例题2,例题3,例题4,1.6 复变函数的极限和连续性,1.函数的极限定义 设函数 w=f(z)定义在 z0的去心邻域 00,相应地必有一正数d(e)(0 d),使得当 0|z-z0|d 时有|f(z)-A|e,则称A为f(z)当 z趋向于z0时的极限,记作,或记作当 zz0 时,f(z)A.,几何意义:,等价定义：,设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则,运算性质：,当 z0 时的极限不存在
14、,例1 证明函数,证 令 z=x+i y,则,由此得,让 z 沿直线 y=k x 趋于零,我们有,故极限不存在.,2.函数的连续性定义,则说 f(z)在 z0 处连续.如果 f(z)在区域D内处处连续,我们说 f(z)在D内连续.,函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在 z0=x0+iy0处连续的充要条件是 u(x,y)和 v(x,y)在(x0,y0)处连续.,性质：,(1)连续函数的四则运算仍然连续；,(2)连续函数的复合函数仍然连续；,(3)连续函数的模也连续；,(4)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模,在D上取到最大值与最小值;,(5)有界闭区域D上的连续函数必一致连续.,例题1 讨论,的连续性。,例2 讨论,解：,的连续性。,
