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1、1,第四章 微分方程组,前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，,本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程的解法上.,2,3,Volterra 捕食-被捕食模型,一、微分方程组的实例及有关概念,4.1 微分方程组的概念,4,为环境的容纳量.,当环境中不存在捕食者时,食饵种群的增长规律用下述Logistic方程来描述,称为密度制约项.,5,由于捕食者的存在,将使食饵的增长率减少,食饵种群,6,Volterra 捕食-食饵系统:,7,质点的空
2、间运动,求该质点的运动轨迹.,8,高阶微分方程,令,则可以化为方程组:,高阶微分方程组?,9,含有,个未知函数,的一阶微分方程组,线性微分方程组?,非线性微分方程组?,微分方程组的解?,10,通解及通积分,11,二、函数向量与函数矩阵,（1）函数向量和函数矩阵,n维函数向量,注：关于向量或矩阵的代数运算!,为 上的函数.,阶函数矩阵,12,关于函数向量与函数矩阵的连续、微分、积分?,13,3.,且,（2）矩阵及向量的范数,4.,5.,14,向量序列和矩阵序列的收敛,15,函数向量级数,如果其部分和所作成的函数向量序列,是收敛的(一致收敛的).,与数学分析中关于函数序列和函数级数有类似结论.,在
3、区间I上收敛(一致收敛),则称 在区间I,16,如果,函数矩阵序列的收敛?,17,（3）微分方程组的向量表示,矩阵形式:,记,初始条件,初始值问题:,18,例1:将初值问题,化为用矩阵表示的方程组形式.,则有,初始条件,19,三、微分方程组解的存在唯一性定理,则初值问题,定理4.1 设 和 在 上连续,在 内存在惟一解.,20,证明:,（1）设 为的满足初始条件,的解.,（2）构造Picard迭代向量函数序列,的解,则 是积分方程,取,为区间 上的连续函数列.,令,21,级数的部分和,由Weiestrass 判别法,级数一致收敛,构造,（3）序列 在 上是一致收敛的.,令,22,（4）是积分方程在 上的连续解.,23,(5)解的唯一性,设 是积分方程的另一连续解,则有,令,所以,即.,则,24,对于高阶线性方程,利用变换,将其化为方程组,其中,25,作业:P174 2，3，4(1)，6,
