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1、5.2 线性微分方程组的一般理论,13:16,1,5.2 线性微分方程组的一般理论,主要研究微分方程组的解得结构问题,一阶线性微分方程组:,称(5.15)为一阶齐次线性微分方程组（强调时也称对应于（5.14）的齐次）.,一阶非齐线性微分方程组.,13:16,2,5.2 线性微分方程组的一般理论,一 齐次线性微分方程组,1 叠加原理,定理2,证明:,则有,所以,13:16,3,5.2 线性微分方程组的一般理论,2 函数向量组线性相关与无关,13:16,4,5.2 线性微分方程组的一般理论,注：恒等于0的0是零列向量。,证明:,13:16,5,5.2 线性微分方程组的一般理论,证明:,要使,13:
2、16,6,5.2 线性微分方程组的一般理论,则需,因为,所以,故,线性无关.,13:16,7,5.2 线性微分方程组的一般理论,再比如：,13:16,8,5.2 线性微分方程组的一般理论,线性无关。,3 向量值函数组线性相关与无关的判别准则,(1)Wronsky行列式,由这n个向量函数所构成的行列式,称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式。,13:16,9,5.2 线性微分方程组的一般理论,(2)定理3,证明:,相关,13:16,10,5.2 线性微分方程组的一般理论,(3)定理4,证明:,“反证法”,则,现在考虑函数向量,由定理2知,13:16,11,5.2 线性微分方程组的一般理论
3、,由(5.17)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有,矛盾。,注1:,注2:,13:16,12,5.2 线性微分方程组的一般理论,(4)定理5,(5.15)一定存在n个线性无关的解.,证明:,由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件,且,13:16,13,5.2 线性微分方程组的一般理论,4 通解结构及基本解组,定理6,证明:,由已知条件,13:16,14,5.2 线性微分方程组的一般理论,又因为,从而可知,13:16,15,5.2 线性微分方程组的一般理论,即它们构成n维线性空间的基,现在考虑向量值函数,由定理2知,由(5.20)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有,即,1
4、3:16,16,5.2 线性微分方程组的一般理论,推论1,(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.,基本解组:,称为(5.15)的一个基本解组.,注1:,(5.15)的基本解组不唯一（有无穷多个）.,注2:,(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.,注3:,由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.,13:16,17,5.2 线性微分方程组的一般理论,首先有:,线性相关.,证明:,13:16,18,5.2 线性微分方程组的一般理论,即有,即向量组(*)是线性相关的.,13:16,19,5.2 线性
5、微分方程组的一般理论,反之,如果向量组(*)是线性相关,当然有,从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5.,从本节定理6立即得到下面：,13:16,20,5.2 线性微分方程组的一般理论,推论3,13:16,21,5.2 线性微分方程组的一般理论,5 解矩阵与基解矩阵及性质,(1)定义,则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.,则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.,基解矩阵-,以基本解组为列构成的矩阵.,13:16,22,5.2 线性微分方程组的一般理论,由定理5,6得,由定理3,4得,13:16,23,5.2 线性微分方程组的一
6、般理论,注1:,行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.,如矩阵,注2:,13:16,24,5.2 线性微分方程组的一般理论,解:,由于,又由于,13:16,25,5.2 线性微分方程组的一般理论,证明:,13:16,26,5.2 线性微分方程组的一般理论,证明:,于是有,由此可得,13:16,27,5.2 线性微分方程组的一般理论,即有,解:,13:16,28,5.2 线性微分方程组的一般理论,又由于,其通解为,13:16,29,5.2 线性微分方程组的一般理论,二 非齐次线性微分方程组,1 非齐次线性微分方程组解的性质,性质1,性质2,13:16,30,5.2 线性微分方程组的一般理论,性
7、质3,2 通解结构定理,定理7,这里C是确定的常数列向量.,证明:,由性质2知,即,这里C是确定的常数列向量.,13:16,31,5.2 线性微分方程组的一般理论,如果知道了对应齐次方程的通解，能不能求非齐次特解？,3 常数变易公式,则(5.15)的通解为,其中C是由n个任意常数构成的列向量。,下面寻求(5.14)形如,的解,把(5.24)代入(5.14),得,(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式,13:16,32,5.2 线性微分方程组的一般理论,从而,反之,可验证(5.26)是方程组(5.14)满足初始条件,的特解.,因此,(5.24)变为,13:16,33,5.2 线性微分方程组的一般
8、理论,定理8,(1)向量函数,是(5.14)的解,且满足初始条件,(2)方程组(5.14)的通解为,注1:,注2:,公式(5.26)或(5.27)称为(5.14)的常数变易公式.,13:16,34,5.2 线性微分方程组的一般理论,解:,由例4知,是对应齐次方程的基解矩阵,由(5.26)得方程的特解为,13:16,35,5.2 线性微分方程组的一般理论,伴随矩阵除以原矩阵的行列式,所以,原方程的通解为,13:16,36,5.2 线性微分方程组的一般理论,解:,由例3知,是对应齐次方程的基解矩阵,13:16,37,5.2 线性微分方程组的一般理论,伴随矩阵除以原矩阵的行列式,13:16,38,5
9、.2 线性微分方程组的一般理论,(2)n阶线性微分方程的常数变易公式,则(5.7)对应齐次方程的基本解组为,从而其基解矩阵为,13:16,39,5.2 线性微分方程组的一般理论,13:16,40,5.2 线性微分方程组的一般理论,推论3,的基本解组,那么非齐线性方程,的满足初始条件,解为,13:16,41,5.2 线性微分方程组的一般理论,公式(5.29)称为(5.28)的常数变易公式.,方程(5.28)的通解可表为,13:16,42,5.2 线性微分方程组的一般理论,但是,13:16,43,5.2 线性微分方程组的一般理论,而通解是,13:16,44,5.2 线性微分方程组的一般理论,解:,易知对应齐线性方程的基本解组为,由(5.31)求方程的一个解,这时,故,13:16,45,5.2 线性微分方程组的一般理论,所以,也是原方程的一个解.,13:16,46,5.2 线性微分方程组的一般理论,13:16,5.2 线性微分方程组的一般理论,47,13:16,5.2 线性微分方程组的一般理论,48,作业,P216 1,2,4,6,
