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1、1,考虑常系数非齐次线性微分方程组,4.5 常系数非齐次线性微分方程组,其对应的齐次线性微分方程组为,维列向量,这里,是,实常数矩阵,是,函数.,解的结构:非齐次方程组的通解为对应齐次方程组通解,与非齐次方程组的一个特解之和.,2,一、常数变易法,方程组的基解矩阵:,因此常系数非齐次方程组的通解为,3,例 利用常数变易法求解初值问题,特征根,特征方程,对应,的齐次方程组的一个解,4,5,齐次方程组的解矩阵,又因为,因此,6,原方程的特解为,7,二、线性变换法,把方程组 化为,8,故可以直接求出它的解,9,10,11,则原方程组的通解为,12,三、待定系数法,13,14,解得,从而得原方程的特解
2、为,15,有特征根,故可设特解形式为,16,可得代数方程组,解方程得,17,而线性变换法和待定系数法都具有某种局限性.,18,例 求方程组,解(常数变易法):,系数矩阵的特征方程的特征根为,的通解.,相应的特征向量分别为,19,非齐次方程组通解,20,解法2(待定系数法):,由解法1知,对应的齐次方程组的通解,利用待定系数法求方程组的一个特解.,21,则方程组可改写为,即有,22,求解得,因此方程组的特解为,故原方程的通解为,23,解法3(线性变换法):,系数矩阵的特征方程的特征根为,相应的特征向量分别为,分别为,24,即,解上面的方程得,则原方程组的通解为,25,解法4(消元法):,由第一个方程得,把方程组改写为,将其代入第二个方程得,解方程得其通解为,代入关于 的表达式得,所以原方程组通解,26,作业:P241 1(2)，2(1)，3(1),
