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1、第二章 插 值/*Interpolation*/,主要内容,2 插值函数的特点及寻求方法,1 插值的概念,4 埃尔米特插值,3 拉格朗日多项式,5 分段低次插值,1 概念/*Concept*/函数解析式未知，或计算复杂，用函数g(x)去近似代替它，使得 g(xi)=f(xi)(i=0,n),g(x)f(x)这类问题称为插值问题。函数g(x)称为插值函数。x0 xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间称为插值区间。g(xi)=f(xi)称为插值条件。,g(x)f(x),本章只讨论多项式的插值问题，即构造n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn使满足Pn(xi)=yi,2 插值
2、函数的特点和寻求方法,插值函数的特点,Important！,插值函数的寻求方法,待定系数法,试凑法,混合法：试凑法和待定系数法相结合的方法。,1.已知几个边界条件,插值函数就有几项.2.每一项由节点函数值和形函数构成.3.形函数在本节点的值为1,其它节点为0.,3 拉格朗日插值 Lagrange Polynomial,n 1,Lagrange Polynomial,与 有关，而与 无关,节点,f,插值余项/*Remainder*/,分子：哪个节点的形函数缺哪个坐标分母：哪个节点的形函数，哪个坐标在前,Important！,n=1,n=2,Important！,3 Lagrange Polyno
3、mial,注：若不将多项式次数限制为 n，则插值多项式不唯一。,例如 也是一个插值多项式，其中 可以是任意多项式。,4 埃尔米特插值/*Hermite Interpolation*/,不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数(x)满足(xi)=f(xi),(xi)=f(xi),(mi)(xi)=f(mi)(xi).,注：N 个条件可以确定 阶多项式。,N 1,一般只考虑 f 与f 的值。2n+2个条件，可确定2n+1次多项式。,1 概念/*Concept*/,4 Hermite Interpolation,例：设 x0 x1 x2,已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)
4、和 f(x1),求多项式 P(x)满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且 P(x1)=f(x1),并估计误差。,模仿 Lagrange 多项式的思想，设,解：首先，P 的阶数=,3,h0(x),有根,x1,x2，且 h0(x1)=0 x1 是重根。,又:h0(x0)=1 C0,h2(x),h1(x),有根 x0,x2,由余下条件 h1(x1)=1 和 h1(x1)=0 可解。,与h0(x)完全类似。,有根 x0,x1,x2,与 Lagrange 分析完全类似,2 方法/*Method*/混合法,试凑,待定系数,4 Hermite Interpolation,一般地，已知 x0,xn
5、处有 y0,yn 和 y0,yn，求 H2n+1(x)满足 H2n+1(xi)=yi，H2n+1(xi)=yi。,解：设,hi(x),由余下条件 hi(xi)=1 和 hi(xi)=0 可解a和 b,有根 x0,xn,除了xi 外都是2重根,3 推广/*Evolution*/,5 分段低次插值/*piecewise polynomial approximation*/,例：在5,5上考察 的Ln(x)。取,n 越大，端点附近抖动越大，称为Runge 现象,5 Piecewise Polynomial Approximation,分段线性插值/*piecewise linear interpol
6、ation*/,在每个区间 上，用1阶多项式(直线)逼近 f(x):,分段Hermite插值/*Hermite piecewise polynomials*/,内容提要：,函数逼近的概念最小二乘原理,第三章 函数逼近与曲线拟合/*Approximation Theory*/,用简单的函数P（x）近似地代替函数f（x），是数值分析最基本的概念和方法之一。近似代替又称逼近，函数f（x）叫做被逼近函数，P（x）叫做逼近函数。插值法也是逼近的已知方法，不过，它要求逼近函数P（x）与被逼近函数f（x）在节点处有相同的函数值（甚至导数值），但在非节点，误差可能很大，所谓龙格现象，就是一例。本章主要研究在逼
7、近多项式次数确定为尽量低的情形下，使其逼近的误差在某种意义上达到最小。也就是要使计算简单，还有使逼近的精度尽可能地高。,函数逼近的概念/*Approximation Theory*/,第三章 曲线拟合与函数逼近/*Approximation Theory*/,仍然是已知 x1 xm;y1 ym,求一个简单易算的近似函数 P(x)f(x)。,但是,m 很大；,yi 本身是测量值，不准确，即 yi f(xi),这时没必要取 P(xi)=yi,而要使 P(xi)yi 总体上尽可能小。,常见做法：,使 最小/*minimax problem*/,太复杂,使 最小,不可导，求解困难,使 最小/*Leas
8、t-Squares method*/,最小二乘原理,对 为多项式情形定义：设f(x)在a,b上有函数表其中求一个m(n)次多项式使偏差的平方和 最小的方法称为最小二乘法,最小二乘原理,按照极值理论，要使得R达到极小，必须有：,称n次方程组为正则方程组，通过它可以求出,求解步骤,由观测数据表中的数值，点画出函数粗略的图形从粗略图形中确定近似公式的函数类型通过最小二乘原理确定函数中的未知参数,第三章 曲线拟合与函数逼近/*Approximation Theory*/,关键问题,选什么形式的函数进行拟合？主要凭经验。与问题的运动规律及所观测数据有关,幂函数 指数函数对数函数三角函数,可选形式,在不好判断时，都可选幂级数，因为任何函数都可以展开成幂级数,非线性曲线的数据拟合,当 不是多项式时幂函数指数函数对数函数可以将自变量x和变量y看成其他变量的函数，原来是非线性的问题就转化为线性问题，如：令，则经过变换后得,
