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1、随机变量的数学期望(均值),它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在很多场合,仅仅知道平均值是不够的.,2 随机变量的方差,例如,某零件的真实长度为a,现在用甲、乙两台仪器各测量10次,并将测量结果 X 用坐标上的点表示如图：,问:哪台仪器的测量效果好一些？,因为乙仪器的测量结果更集中在均值附近.,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量在其中心(即均值)附近取值的离散程度(或集中程度).这个数字特征就是:方差.,再如:考察某车床加工轴承的质量时,若最关键的指标为长度,则不但要注意轴承的平均长度,同时还要考虑轴承长度与平均长度的偏离程度(即加工的精度);等
2、等.,我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢?,X E(X)?,E X E(X)?,E|X E(X)|?,E X E(X)2,一、方差(variance)的定义,随机变量 X 的平方偏差 X E(X)2 的均值,或 Var(X),叫做 X 的方差.,而,叫做 X 的标准差或均方差.,方差刻划了随机变量取值的离散程度:,若 X 的取值比较集中,则方差较小；,若 X 的取值比较分散,则方差较大.,可以算出:,两人命中环数的平均水平相同,从中看不出两人射击技术的高低;,但,说明甲的命中环数比乙的更集中,即甲的射击技术比乙的稳定.,二.方差的简化计算公式,即:方差等于 平方的期望 减 期望的平方.,证明
3、:,而,解:,由归一性得,故,解得 b=0,a=2,E(X)=2/3,或b=2,a=2,E(X)=1/3.,解:,三.常见分布的期望与方差,(3),则,(2),则,(1),则,(4),则,(5),则,四.方差的性质,(1)对任意常数 k 与 c 有:D(k X+c)=k 2 D(X).,(2)设 X 与 Y 相互独立,则,进一步,若 X1,Xn 相互独立,则对任意常数 c1,cn 有:,D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(XY)=D(X)+D(Y).,D(c1 X1+cn Xn)=c12 D(X1)+cn2 D(Xn).,(3)D(X)=0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C,即 PX
4、=C=1.,解:,X 表示 n 重伯努利试验中“成功”的次数,p为每次试验成功的概率,则 X B(n,p);,引入,1,若第 i 次试验成功,0,若第 i 次试验失败.,i=1,2,n,则 X1,X2,Xn 相互独立,且,而 Xi 的分布律为,故 E(Xi)=p,E(Xi2)=p,D(Xi)=E(Xi2)E(Xi)2=p q,从而,解:,五.随机变量的标准化,设 X 具有,为 X 的标准化随机变量.,则叫,六.切比雪夫(Chebyshev)不等式,对 X,若 E(X),D(X)都存在,则对,或,(1)方差确实能衡量随机变量取值的离散程度.,(2)该不等式能在 X 的分布未知的情况下对,的概率的
5、下限作一估计,若记,则,等等.,一、协方差,随机变量 X 和 Y 的协方差,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中,最重要的就是协方差和相关系数.,3 协方差(Covariance)和相关系数,1.定义:,(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(a X,b Y)=a b Cov(X,Y),a,b 是常数,(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),2.简单性质:,3.协方差的简化计算公式:,Cov(X,Y)=E(X Y)E(X)E(Y),可见，若 X 与 Y 独立,则 Cov(X,Y)=0.,4.随机变
6、量和的方差与协方差的关系,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),二、相关系数,1.定义:,设 D(X)0,D(Y)0,称,为随机变量 X 和Y 的相关系数.,2.相关系数的性质:,存在常数a,b 使,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.,可见相关系数刻划了 X 和 Y 间“线性相关”的程度.,的值越接近于 1,Y 与 X 的线性相关程度越高;,的值越接近于 0,Y 与 X 的线性相关程度越弱;,注意:,若 X 与 Y 独立,则 Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,但由 X 与 Y 不相关,不一定能推出 X 与 Y 独立.,而对下述情形,独立与不相关等价:,若(X
7、,Y)服从二维正态分布,则,从而 X 与 Y 不相关;,例:设 X 在(1/2,1/2)内服从均匀分布,而 Y=cos X,试考察 X 与 Y 的相关性及独立性?,解:,而 Y 与 X 有严格的函数关系,因此,Cov(X,Y)=E(X Y)E(X)E(Y)=0,故 X 和 Y 不相关.,即 X 和 Y 不独立.,一、矩,为 X 的 k 阶原点矩,可见:X 的期望是 X 的 1 阶原点矩;,在随机变量的数字特征中,更一般的是矩.,4 矩、协方差矩阵,为 X 的 k 阶中心矩,为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩,为 X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.,X 的方差是X 的 2 阶中心矩;,
8、X 和 Y 的协方差是 X 和 Y 的 2 阶混合中心矩.,二、协方差矩阵,对 n 维随机变量(X1,X2,Xn),称矩阵,为(X1,X2,Xn)的 协方差矩阵.,因对所有 i,j 成立 ci j=cj i,记,i,j=1,2,n,故 C T=C,C 为对称矩阵.,引入(X1,X2,Xn)的协方差矩阵,可更好地处理多维随机变量.,比如,我们可从二维正态随机变量的概率密度推广出 n 维正态随机变量的概率密度:,设 n 维随机变量(X1,X2,Xn)的概率密度为,则称 X 服从 n 维正态分布.,f(x1,x2,xn),其中 C 是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵,C 1 表示 C 的逆矩阵,|C|是它的行列式,有关 n 维正态分布的几条重要性质见书第3章,稍作了解.,
