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1、第 五 章 直线与平面、平面与平面的相对位置,（编制 李小平）,本 章 目 录,5-1 平行问题,5-2 相交问题,5-3 垂直问题,5-4 综合问题解题示例,5-1 平行问题,一、直线和平面平行,二、平面和平面平行,本章介绍它们的投影特性和作图方法。,直线与平面、平面与平面的相对位置可能是平行、相交或垂直。,一、直线和平面平行,定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。,A,B,有关直线与平面平行的作图问题：作直线已知平面。作平面已知直线。判断已知直线、平面是否平行。,例1 含点I(1,1)作平面与直线AB(ab,ab)平行。,1,1,a,a,b,b,X,
2、作 法(1)过点作直线与AB平行(2)含直线作一任意平面。,图 5-1,例 2 判断直线AB与是否平行。,图 5-2,a,b,3,2,1,a,b,3,1,2,x,作 法(1)在平面任一投影中，作面内直线CFAB的同面投影。(2)求CF的另一投影，并判断直线CF是否AB。,特殊情况 若直线与某一投影面的垂直面平行，则它们在该投影面上的投影一定平行。,X,直线投影平面有积聚性的同面投影,它们在空间必互相平行,特殊情况 若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。,X,直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必互相平行。,PH,二、平面和平面平行,定理 如果一个平面内的相交两直线与另一
3、个平面内的相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。,P,Q,A,B,C,D,有关两平面平行的作图问题：作平面已知平面。判断两已知平面是否平行。,例 含点A1作平面平行定平面(A2B2A2C2)。,c2,X,a1,a2,b2,b2,a1,a2,c2,图 5-3,c2,X,a2,b2,b2,a2,c2,例 判断两平面是否平行。,分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行的相交直线。,讨论 相互平行的两投影面垂直面，它们的一对有积聚性的同面投影必平行。,若两正垂面相互平行，则它们的正面投影相互平行。,若两铅垂面相互平行，则它们的水平投影相互平行。,X,x,1,2,3,1,2,3,分析：若两面相互平行
4、，则它们的有积聚性的同面投影相互平行。,例 含点A1作平面平行平面。,a,a,5-2 相交问题,一、特殊线、面与一般直线或平面的相交,二、一般直线与一般平面的相交,三、两一般位置平面的交线,相 交 问 题,直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面的共有点；两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线。,一、特殊位置线、面与一般位置直线或平面的相交,交点、交线为线与面、面与面两者所共有，如果其中有一个处于垂直投影面的特殊位置，则可利用其投影的积聚性直接求出交点或交线的一个投影，另外的投影可根据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。,如果平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用平面投影的积聚
5、性直接定出交点的一个投影。,1.特殊位置平面与一般位置直线相交,例 求直线AB与铅垂面EFGH的交点K。,求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性。,（1）求出交点后，对于直线与平面投影重叠的部分，要判别直线的可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交点是直线可见部分与不可见部分的分界点。（3）判别方法 A.直接观察;B.利用交叉直线的重影点。,关于直线可见性的判别,k,1(2),x,c,e,d,a,b,c,a,b,e,d,例 求直线AB与铅垂面CDE的交点K。,分 析 利用铅垂面水平投影的积聚性求交点,图 5-5,例 求AB与P平面的交点。,分 析 利用PV的积聚性求交点
6、。,k,a,b,PH,PV,a,b,x,px,图 5-6,1,x,c,e,d,a,（b）,c,a,b,e,d,例 求正垂线AB与CDE的交点K。,分 析 利用线V面投影的积聚性确定交点的一个投影，根据点在面上求出交点的另一投影。,1,2,k,2,特殊位置直线与一般位置平面相交,两平面不平行时必相交，其交线是两平面的共有线，是平面可见部分与不可见部分的分界线。两平面的交线是直线。因此，求作两平面交线的方法是：求出交线上的两个点，在两个平面的公共范围处连出交线。,两平面相交,2.特殊位置平面与一般位置平面的交线,当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它的投影的积聚性直接求出交线上的两个点，然后连
7、成交线。,d,e,a,a,b,b,X,e,d,f,f,c,c,例 求DEF(H面)与ABC的交线KL。,分 析 利用dfe的积聚性，求两平面交线。,1(2),（1）求出交线后，对于两平面同面投影重叠的部分，要判别可见性（不重叠的部分都是可见的）。（2）交线是可见部分与不可见部分的分界线。（3）判别方法 A.直接观察;B.利用交叉直线的重 影点。,图 5-7,(a)全交,(b)互交,两平面相交的两种情况,全交：一个平面全部穿过另一个平面;互交：两个平面的边线互相穿过。,分 析 利用水平面efg的积聚性求两平面交线。,e,c,g,f,1,e,f,g,1,d,b,a,k,l,l,a,b,c,d,k,
8、x,例 求EFG(H面)与平面ABCD的交线，并判断可见性。,图 5-8,本题中两平面图形只有部分互交。求交时要注意除去交线多余的部分。,当两平面同时垂直某一投影面时，它们的交线也是此投影面的垂直线。,x,e,g,f,e,f,g,c,b,a,a,b,c,例 求两面的交线。,各种位置平面间的交线,例 3 求矩形平面与两个共边三角形平面的交线。,分 析 利用水平面投影的积聚性求两平面交线。水平面与两三角形的交线是水平线，并且与相应的底边平行。,x,c,s,1,a,b,c,a,b,s,1,2,图 5-10,当直线和平面都处于一般位置时，交点的求法是：,含已知直线作辅助平面;求辅助平面与已知平面的交线
9、;交线与已知直线的交点即为所求。,为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。,二、一般位置直线与一般位置平面的相交,例1 求直线DE与平面ABC的交点。,a,a,b,b,c,c,X,d,d,e,e,图 5-12,a,a,b,b,c,c,X,d,d,e,e,k,1(2),例1 求直线DE与平面ABC的交点。,利用两交叉直线的重影点判别直线的可见性。,图 5-12,解法一空间分析：含点与一直线作平面，求与另一直线的交点。,a,f,2,3,g,4,1,x,2,a,3,4,k,1,例2 含点A作直线AB使与交叉直线、都相交。,图 5-13,解法二空间分析：含点和两直线分别作面，求两面交线与一直线的
10、交点。,解法三空间分析：将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作直线AB与二交叉直线垂直相交,A,K,例2 含点A作直线AB使与交叉直线、都相交。,图 5-14,例 3 求AB与两三角形的交点。,作 法 作正垂面Q求AB与两三角形的交点。,a,b,f1,x,a,3,4,1,2,f2,k2,e1,e2,f2,k1,k2,e2,b,3,1,2,4,(m)n,图 5-15,三、两一般位置平面的交线,常用方法：1 线面交点法 2.辅助平面法,1.线面交点法,当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有互相重叠的部分时，可用求直线和平面交点的方法找出交线上的两个点。,例 求ABC和DEF的交线。（求交点）
11、,a,a,f,f,b,b,c,c,X,d,d,e,e,图 5-16,a,a,f,f,b,b,c,c,k,X,d,d,e,e,l,l,1(2),3(4),例 求ABC和DEF的交线。（判别可见性）,图 5-16,若线段的投影与另一平面图形的投影不重叠，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。,使用线面交点法时注意：,2.辅助平面法,图 5-17,作图原理求P、Q平面的交线时，任作平面S1，使与Q相交得交线L1，与P相交得交线L2；L1、L2的交点I为P、Q、S1三面的共有点，即P、Q交线上的一个点。再作平面S2，又可得到交线上的另一个交点。
12、连接I 即P、Q的交线。,b,例 求ABC和平面(L1 L2)的交线。,c,a,x,a,b,c,l2,l1,l2,l1,图 5-18,5-3 垂直问题,一、直线和平面垂直,二、两平面垂直,一、直线和平面垂直,定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。,直线L平面P内的两相交直线AB、CD,则LP面,L,B,A,C,D,P,直线与平面垂直的投影特性：直线的水平投影平面内的水平线的水平投影，直线的正面投影平面内的正平线的正面投影。,c,C,mk ef,mk ad,MKABC所确定的平面。,有关直线与平面垂直的作图问题：作直线已知平面；作平面已知直线。判断已知直线
13、、平面是否垂直。,例1 含点E作直线垂直于ABC，并求垂足。,a,a,b,b,c,e,c,e,X,图 5-21,分 析 先求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点。,(b)已知,例 求C点到直线AB的距离。（分析）,a,a,b,b,c,c,X,解题步骤:1.过C点作P面直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。,a,a,b,b,c,c,例 求C点到直线AB的距离。（作图）,X,解题步骤:1.过C点作P面直线AB;2.求AB与P面的交点K;3.求垂线CK的实长。,例2 已知ABBC，求bc。,a,a,b,b,c,X,A,B,C,分 析1.过B点作P面直线AB 则BC一定在P面内；2.
14、在P面内求C点。,图 5-22,二、两平面垂直,定理 如一直线一平面，则包含这直线的一切平面都该平面。反之，如两平面互相垂直，则从第一平面内的任意一点向第二平面所作的垂线，必定在第一平面内。简述 如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面互相垂直。,两平面垂直的条件,有关两平面垂直的作图问题：作平面已知平面；判断两已知平面是否垂直。,例 含点A作平面垂直于。,1,2,3,1,2,3,5,4,5,4,c,a,x,a,c,分 析 含点A只能作一直线定平面，但此垂线可作无穷多个平面，即本题有无穷多解。,图 5-24,5-4 综合问题解题示例,含定点或直线作平面及在定平面内取点、线。求直线与平面的交
15、点。求两平面的交线。含定点作直线平行于定平面。含定点作直线垂直于定平面。含定点作平面垂直于定直线。,必须熟练掌握以下六个基本问题的作图方法：,例1:作直线AB使与L平行，并与两交叉直线、相交。,空间解题分析一：含一直线作面平行直线L，求面与另一直线的交点，过交点作线平行直线L。,1,3,1,2,3,l,4,l,4,2,x,5,5,b,b,a,a,空间解题分析二：含两直线分别作面平行直线L，求两面的交线，即为所求。,空间解题分析三：用换面法将一直线变换成投影面垂直线，过其积聚性投影作线平行直线L并与另一直线相交，即为所求。,L,例2 已知点A到的距离为15，求a。,1,3,1,2,3,4,4,2,x,5,6,6,a,a,b,B0,k,f,k,f,5,解题步骤：作直线平面；求垂线上距面为15的点；过点作面平行原面；A点在平行面内，在面内作线求A点水平投影。,
