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1、材料力学II,能量法的应用LT2013.08,能量法的应用,能量法研究梁的横向剪切效应能量法研究杆件的冲击应力能量法研究压杆的临界载荷能量法研究梁柱纵横弯曲变形与应力计算等问题此外，另一重要应用为求解静不定问题。,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,梁的横向剪切效应,压杆的临界载荷-能量法应用,平衡的三种形式：稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。,压杆的临界载荷,压杆的临界载荷,稳定性判定准则：根据Dirichlet 定理，物体的平衡位置上其势能具有极小值或极大值。若为极小
2、，则平衡是稳定的。如果给物体一微小干扰，则新的临近位置的势能与原始状态势能的差值0，一旦去除干扰，物体必然要回复到势能极小的最低位置。反之，若为极大，则平衡是不稳定的。物体受干扰后0，去除干扰，物体的位置不能复原，将继续向势能小的方向离去。,压杆的临界载荷,若0，原始状态=min，属于稳定平衡；若0，原始状态=max，属于不稳定平衡；若=0，势能不变，属于随遇平衡。平衡相关物理概念从数学观点看可以归结为寻求势能函数的极小值和极大值的微分或变分问题。,压杆的临界载荷,两类失稳形式：弹性体的平衡问题，其稳定性取决于结构的几何构造、约束条件和加载方式等因素。一般归结为两类失稳形式。（1）分支点失稳问
3、题；（2）极值点失稳问题。,压杆的临界载荷分支点失稳问题,以中心受压理想等直杆件为例。,P1 Pcr时，为稳定直线平衡状态。,压杆的临界载荷,以中点挠度f为横坐标，载荷P为纵坐标。则纵轴上（f=0）任一点P1表示一种直线平衡状态。OA线称为原始平衡路径。载荷超过临界载荷，P2Pcr时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于弯曲平衡状态，但直线状态是不稳定的，若给以干扰，压杆则不能回复直线构形而将继续弯曲直到图示B点，此时挠度为f2。曲线AB称为第二平衡路径。A点称为分支点或分叉点（bifurcation point）。,压杆的临界载荷,A点它是原始平衡路径与第二平衡路径的交点，此点相对应的载荷则
4、为临界载荷Pcr，此时的平衡状态则为临界状态。到达临界状态之前的平衡状态称为前屈曲平衡状态（Pre-buckling equilibrium configuration）；而超过临界状态之后的平衡状态则称为后屈曲平衡状态（Post-buckling equilibrium configuration）。,压杆的临界载荷,分支点A处第二路径的切线为水平，因此，在一阶无穷小的邻域内，挠度为不定值，也即载荷保持常数不变而压杆可以有任意微小弯曲的平衡形式。此即所谓的随遇平衡概念。,压杆的临界载荷,变换横坐标为压杆缩短变形量，相应图形如右图所示。,压杆的临界载荷极值点失稳问题,某些变形体系不存在分支点，
5、此时不能用平衡形式发生分支现象来定义失稳特征。但这类系统所受载荷与变形的关系曲线常具有极值点。这类问题在实际工程中也是比较多的，如有缺陷的压杆（制造工艺缺陷，加载装置偏差等）或承受偏心载荷的杆件。杆件自始至终都处于弯曲平衡状态，更大可能是出现局部塑形变形，以致曲线出现极值点。载荷达到极大值，呈现不稳定现象。此极限承载能力也定义为临界载荷Pcr。,压杆的临界载荷极值点失稳问题,压杆的临界载荷极值点失稳问题,曲线OA部分为稳定平衡，极值点以后部分为不稳定平衡。A点为临界状态。对于受轴向压力P作用的扁锥，力P与轴向位移间的关系如图b所示。不仅存在相对极大值A点，还存在相对极小值B点。这类无分支点的稳
6、定问题也称为跳跃(snap)问题。,压杆的临界载荷极值点失稳问题,压杆的临界载荷,稳定性问题研究经典方法主要有四种：静力平衡法（Euler欧拉方法）；能量法（Timoshenko铁摩辛柯法）；缺陷法；振动法。,压杆的临界载荷,静力平衡法就是从平衡状态来研究杆件的屈曲特征，即研究直线形式之外的弯曲平衡形式。就是研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态，即求解弹性系统的平衡路径（曲线）的分支点所对应的载荷值（临界载荷）。材料力学I中已经学习过了。,压杆的临界载荷,对于弹性系统可以沿用刚体平衡稳定性的能量判据。当压杆收到微小干扰后。观察其能量变化情况。随着杆件的弯曲变形，应变能的增量为U，
7、同时载荷下降，位能的增量为V（注意：由于位能实际上是减少的，所以V为负值），则总势能的增量为=U+V。当载荷P低于某特定数值时，总为正定，即0，则压杆的直线平衡形式是稳定的。,压杆的临界载荷,当载荷增大超过一定数值后，转为负定，即0，则系统的直线平衡形式是不稳定的。当载荷达到临界值Pcr时，施加微小干扰而总势能不变化，即=0，此时压杆处于随遇平衡，即原来的直线平衡将由稳定过渡到不稳定，此时处于临界状态。能量法求解稳定性问题就是研究该临界状态下的载荷确定方法。,压杆的临界载荷,缺陷法：缺陷法认为完善而无缺陷的理想中心受压直杆是不存在的。原始材料缺陷，杆件具有初始曲率，偏心载荷等因素都会使杆件开始
8、受力时即产生弯曲变形，弯曲程度当然要看缺陷大小、严重程度而定。一般情况下缺陷总是相对很小，开始阶段载荷不大时的弯曲变形并不显著，只有当载荷接近理想无缺陷系统的临界值时，变形才迅速增大，藉此可以确定其失稳条件。缺陷法就是求解具有初始缺陷的弹性系统的变形无限增大时的载荷值。,压杆的临界载荷,振动法：振动法是以动力学观点研究压杆稳定问题。当压杆在给定压力作用下，施加一定的初始扰动之后，必将产生自由振动。如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。所谓收敛是指振动具有一定的频率和振幅，考虑到阻尼，振动必将逐渐衰减，经过一段时间后压杆仍将恢复到初始的直线状态。如果压力超过一定数值，杆件的振动发散，则压
9、杆为不稳定的。所谓发散就是指振动的振幅将至无限增大。振动法所解决的问题是求弹性系统自由振动开始发散时的载荷值。,压杆的临界载荷,对于载荷、支撑方式或截面变化比较复杂的压杆，材料力学I所述方法计算临界载荷很不方便。这类问题宜采用能量法求解。下面研究能量法分析压杆稳定问题的过程。,压杆的临界载荷,临界载荷作用下，压杆具有两种平衡形式：直线形式与微弯形式。当压杆处于临界状态并由直线形式转入到微弯形式的过程中，由于压杆始终处于平衡状态，轴向压力在轴向位移上所作之功W（即前述减少的位能）等于压杆因弯曲变形所增加的应变能V，即临界状态的能量特征为 W=V(1),设压杆在微弯平衡时的挠曲线方程为w=w(x)
10、载荷作用点因弯曲变形引起的轴向位移，也称为曲率缩短，为。,则当压杆由直线形式转入到微弯形式的过程中，压杆增加的应变能为或表达为,（2）,（3）,而轴向载荷Fcr所作之功为W=Fcr,易见，轴向位移等于挠曲线的总长AB弧与其投影之差，即,（a）,由图易见，(级数展开近似计算)将其代入(a)式得,（4）,而载荷Fcr所作之功为将该式与（3）式代入（1）式得压杆的临界载荷为,（5）,一旦获得挠曲线方程w(x)，从上式即可求出压杆的临界载荷。,一般情况下，挠曲线方程为未知。通常只能根据压杆的位移边界条件，假设一适当的挠曲线方程进行求解。显然由此求得的临界载荷一般为近似解而非精确解。但实践证明，只要挠曲
11、线方程选择适当，所得解答仍然是足够精确的。,（5）式为端部承压细长杆临界载荷计算的一般公式，它适用于等截面杆、也适用于变截面杆。对于其他非端部承压的细长压杆，临界载荷同样可以利用关系式（1）确定。推导（5）式时应变能计算采用的是基于变形计算公式（3），也可以采用基于弯矩的应变能计算公式（2）。,例 1 试用能量法确定图示两端铰支细长压杆的临界载荷，设弯曲刚度EI为常数。解：假设压杆微弯平衡时的挠曲线方程为,（a）,式中，a代表压杆中点挠度。显然上述方程满足位移边界条件：w(0)=0，w(l)=0。,将（a）式代入到公式（5）可得临界载荷为所得解答与精确解相同。之所以如此，是因为假设的挠曲线方程
12、就是真实的挠曲线方程。,例 2 如图所示细长压杆，一端固定、另一端自由，承受集度为q的轴向均布载荷作用。试用能量法确定载荷q的临界值qcr。,解：解法一设压杆微弯平衡时的挠曲线方程为,（a）,式中，f代表压杆自由端挠度。显然上述方程满足位移边界条件：w(0)=0，w(0)=0。,由（4）式和（a）式可求出当压杆微弯时，横截面x的轴向位移为此时载荷qcr在弯曲变形过程中所作之功为,（b）,由（3）式和（a）式可求出当压杆微弯时，压杆增加的应变能力为将（b）和（c）式代入（1）式，即应用能量原理可得压杆的临界载荷为,（c）,同一问题精确解为近似解与精确解的二者误差为6%。,解法二如图所示，设截面处
13、的挠度为，则截面x处的弯矩为,（d）,将（a）式知处的挠度为,代入（d）式并积分后可得 将上述弯曲表达式代入应变能计算式（2）可得压杆应变能增量为,将该式与式（b）代入（1）式，即应用能量原理可得临界载荷与精确解相比，误差仅有0.77%。,讨论：解法二计算精度明显高于解法一。这是因为解法一是通过变形计算应变能增量，而解法二则是通过弯矩计算应变能力增量。前者计算精度取决于w”，而后者计算精度取决于w。一般情况下，所设挠度w精度均高于w”，因此，解法二计算临界载荷精确度更高一些。,静力平衡法求解轴向均匀分布载荷作用时的失稳临界载荷,一端固定，一端自由两端铰支两端固定,几种经典方法的比较,四种方法求
14、解欧拉压杆问题，所给出的临界载荷是相同的。有些结论有差异。静力平衡法只能给出当P=P1、P2、Pn时压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最可能并未给出选择条件。同时指出在PP1、P2、Pn时，屈曲的变形形式根本不能平衡，因此无法回答直线形式的平衡是不是稳定的问题。缺陷法给出的结论是当P=P1、P2、Pn时压杆将发生无限变形，所以是不稳定的。但对于P在各值之间时压杆是否稳定也不能给出解释。,能量法与振动法则指出PP1之后，无论P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实是完全一致的。,纵横弯曲,前述方法为基于挠度近似表达式采用能量法求解纵横弯曲问题。下面简单介绍解析法过程。详细内容可参见铁摩辛柯著材料力学高等理论和问题,答案：,答案:（a）（b）,答案:,
