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1、1,4.1 格林公式及其应用,4.1.1 球对称解,本章我们将介绍用格林(Green)函数法求解,第四章 格林函数法,拉普拉斯方程边值问题的要点与步骤，,把拉普,拉斯方程第一边值问题的解通过格林函数以积,分的形式表示出来。,这里，我们首先介绍二维拉普拉斯方程,的圆对称解。,2,二维拉普拉斯方程,在极坐标中的,表示式为,(2),求方程(2)的圆对称的解,(即,不,依赖于,的解),此时上述方程可简化为,它的解为,其中,为任意常数。,若令,则可得,通常称它为二维拉普拉斯方程的基本解。,3,作极坐标变换,现在我们介绍三维拉普拉斯方程,的球对称解。,由复合函数微分法则,4,我们可以把三维拉普拉斯方程,变
2、为如下的形式,(1),求方程(1)的球对称的解,(即,不,依赖于,的解),此时上述方程(1)可简化为,它的解为,其中,为任意常数。,若令,则可得,通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解。,5,二维拉普拉斯方程的基本解,三维拉普拉斯方程的基本解,尤其在研究三维拉普拉斯方程中，基本解起着,非常重要的作用。,容易验证，当,时，函数,和,分别,满足三维和二维的拉普拉斯方程。,6,4.1.2 格林公式,格林公式是奥-高公式的直接推论：,设,是以足够光滑的曲面,为边界的有界,区域，,是在,上,连续，在,内有连续偏导数的任意函数，,则成立,如下的奥-高公式,(3),其中,是体积元素，,是,的外法线方向，,上的面
3、积元素。,是,7,(3),且在,内具有,上是连续的，,设函数,和,以及它们的所有,一阶偏导数在,连续的所有二阶偏导数。,在公式(3)中，,令,则得：,8,(3),且在,内具有,上是连续的，,设函数,和,以及它们的所有,一阶偏导数在,连续的所有二阶偏导数。,在公式(3)中，,令,则得：,其中,表示外法向导数。,9,(3),且在,内具有,上是连续的，,设函数,和,以及它们的所有,一阶偏导数在,连续的所有二阶偏导数。,在公式(3)中，,令,则得格林第一公式：,(4),其中,是三维拉普拉斯算子。,10,则得格林第一公式：,(4),(5),(6),在式(4)中，交换函数,的位置，得,由(4)减去(5)，
4、则得格林第二公式：,在,内有二阶连续偏导数，,和,都是成立的。,公式(6)对于在,上有一阶连续偏导数的任意函数,11,补充1 平面上的格林公式,设,是以足够光滑的曲线,为边界的有界,区域，,是在,上,连续，在,内有连续偏导数的任意函数，,则成立,如下公式,(3),其中,是面积元素，,是,的外法线方向，,上的弧长元素。,是,为此，利用已知结论：,12,且在,内具有,上是连续的，,设函数,和,以及它们的所有,一阶偏导数在,连续的所有二阶偏导数。,在公式(3)中，,令,则得：,(3),(4),13,(4),在式(4)中，交换函数,的位置，得,(5),(6),由(4)减去(5)，则得平面上的格林公式：
5、,在,内有二阶连续偏导数，,和,都是成立的。,公式(6)对于在,上有一阶连续偏导数的任意函数,14,4.1.3 调和函数的积分表达式,我们利用格林公式导出调和函数的积分表达式,首先注意函数,则,内调和，,(7),其中,是区域,内某一固定点，,除去,该函数处处满足拉普拉斯方程。,如果函数,在,上有一阶连续偏导数，且在,(8),(6),15,(7),(8),(6),证,在公式(6)中，令,为调和函数，且取,因为函数,在点,处变为无穷大，,故对区域,不能直接应用格林第二公式(6).,但是，如果在,区域,内挖去一个以,为心，充分小正数,为,半径的球,则在剩下的区域,中函数,就是连续可微的了(如图4.1
6、)。,16,(7),(8),(6),证,应用公式(6)得,在区域,上对上述的调和函数,和,(9),其中,是球,的球面。,17,(7),(8),(6),证,(9),化为,因为在区域,内，,于是式(9),(10),18,(8),(10),在球面,上,由此可得,其中,是函数,在球面,上的平均值。,19,(8),(10),在球面,上,另一方面，由于,在球面,上,奥高公式的散度形式,20,(8),(10),于是将,代入(10)式可得,现在令,由于,由上式就可得到,调和函数,的积分表达式(8)。,21,(8),此积分表达式(8)说明：,对于在,上有连续,一阶偏导数的调和函数,它在区域,内任一点,的值，,可
7、通过积分表达式(8)用这个调和函数,及其法向导数在区域边界,上的数值来表示。,取在区域,当点,之外或者取在它的边界,上时，也可以用同样的方法推出另外两个式子，,在,若,内，,在,若,上，,在,若,外，,22,(8),如果,只要它在,上有一阶,不是调和函数，,连续偏导数，,内,在区域,同样可以得到,与(8)相类似的公式,(11),23,补充2 二维情形下调和函数的积分表达式,首先注意函数,则,内调和，,(7),其中,是区域,内某一固定点，,除去,该函数处处满足拉普拉斯方程。,如果函数,在,上有一阶连续偏导数，且在,(8),(6),24,证,在(6)中，令,为调和函数，且取,因为函数,在点,处变为
8、无穷大，,故对区域,不能直接应用格林公式(6).,但是，如果在,区域,内挖去一个以,为心，充分小正数,为,半径的圆,则在剩下的区域,中函数,就是连续可微的了。,(6),(8),(7),25,证,应用公式(6)得,在区域,上对上述的调和函数,和,(9),其中,是圆,的圆周。,(6),(8),(7),26,证,(10),(6),(8),(7),(9),27,在圆周,上,由此可得,其中,是函数,在圆周,上的平均值。,(8),(10),28,另一方面，由于,在圆周,上,在圆周,上,(8),(10),29,于是将,代入(10)式可得,现在令,由于,由上式就可得到,二维情形下，调和函数,的积分表达式(8)
9、。,(8),(10),30,4.1.4 调和函数的基本性质,(8),(6),设函数,它在,上有一阶连续偏导数，,证,则,内的调和函数，,是区域,性质1,(12),其中,是区域,是,的外法线方向。,只要在(6)中取,的边界，,为调和函数，,取,即得公式(12).,31,4.1.4 调和函数的基本性质,(8),(6),性质1,(12),调和函数的法向导数沿区域,公式(12)说明，,边界的积分0.,对稳定的温度场来说，这表示经过,物体界面流入和流出物体的热量相等，,否则就不能,保持热的动态平衡，而使温度不稳定。,32,4.1.4 调和函数的基本性质,(8),(6),性质1,(12),有解的必要条件为
10、,由公式(12)可推出诺依曼问题,33,4.1.4 调和函数的基本性质,(8),(6),性质2,(13),(平均值定理),设函数,内调和，,在区域,内,是区域,为半径的球面，,的任一点。,若,为中心、,是以,此球完全落在区域,的内部，,则,把公式(8)应用到球面,上，得,证,34,4.1.4 调和函数的基本性质,(8),(6),性质2,(13),由于,证,把公式(8)应用到球面,上，得,利用性质1,35,4.1.4 调和函数的基本性质,(8),(6),性质2,(13),由于,证,另一方面,(13)式得证。,36,设函数,它在,上连续，且不为常数，,则,内的调和函数，,是区域,性质3,它的最大值
11、、,最小值只能在边界,上达到,(极值原理)。,性质2,(13),证,由平均值定理容易证明极值原理。,我们只需要证明最大值的情况即可。,只要用,代替,最小值的情况就可以化为最大值的情况.,用反证法.,假定函数,达到最大值，,在某点,那么可推出,必恒等于常数，,且,这便与,不为常数的条件相矛盾了。,37,性质3,性质2,(13),若存在一点,则由函,以,为心，,事实上，,用反证法.,假定函数,达到最大值，,在某点,在区域,中，,记,任意长,为半径作球,(极值原理),使它完全落,的球面为,则在,上满足,使得,邻域，,数的连续性，必可找到此点在球面,上的一个,因此，即使,在此邻域中也有,在球面,的其余
12、部分上满足,也有,38,性质3,性质2,(13),以,为心，,用反证法.,假定函数,达到最大值，,在某点,在区域,中，,记,任意长,为半径作球,(极值原理),使它完全落,的球面为,则在,上满足,但由平均值公式(13)得,矛盾。,则在球面,上满足,事实上，,39,性质3,性质2,(13),以,为心，,用反证法.,假定函数,达到最大值，,在某点,在区域,中，,记,任意长,为半径作球,(极值原理),使它完全落,的球面为,则在,上满足,同理，,在以,为心，,任意,为半径的球面,上，也有,因此，在整个球,中恒有,40,性质3,性质2,(13),现在证明对于,中的所有点都成立,在区域,中作连接,任取一点,
13、到区域,(极值原理),折线,两点的,边界,的最小距离为,记折线,由于点,的任意性，,上满足,整个区域,就得到,与题设矛盾。,则极值原理得证。,41,设函数,它在,上连续，且不为常数，,则,内的调和函数，,是区域,性质3,它的最大值、,最小值只能在边界,上达到,(极值原理)。,性质2,(13),设,且在,上连续，,则在,内的调和函数，,都是区域,推论,若在,且只有在,时，,(比较原理),边界,上成立不等式,内该不等式同样成立，,内等号才成立。,在,42,解的惟一性。,利用极值原理证明狄利克雷问题,(14),设,并且,由极值原理知,故在,则,是问题(14)的两个解，,在,这就证明了狄氏问题解的惟一性。,即,内既不能大于0，又不能,上有,内的调和函数，即,小于0，,是,43,内容小结,二维、三维拉普拉斯方程的基本解分别为,1,2,(6),格林第二公式,(8),3,调和函数的积分表达式(三维),(二维),44,性质1,(12),内容小结,调和函数的基本性质,4,设函数,它在,上连续，且不为常数，,则,内的调和函数，,是区域,性质3,它的最大值、,最小值只能在边界,上达到,(极值原理)。,性质2,(13),推论,(比较原理),
