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1、测量学,同济大学 测量与国土信息工程系,第六章 测量误差基础知识,6-1 测量误差的概念,一、测量误差的来源,1、仪器精度的局限性,2、观测者感官的局限性,3、外界环境的影响,一.产生测量误差的原因,一、产生测量误差的原因,产生测量误差的三大因素：仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光),结论：观测误差不可避免(粗差除外),有关名词：观测条件:上述三大因素总称为观测条件等精度观测:在上述条件基本相同的情况下进行的各 次观测，称为等精度观测。,二、测量误差的分类与对策,（一）分类,系统误差在相同的观测条件下
2、，误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律变化。,例：误差 钢尺尺长误差Dk 钢尺温度误差Dt 水准仪视准轴误差i 经纬仪视准轴误差C,处理方法计算改正计算改正 操作时抵消(前后视等距)操作时抵消(盘左盘右取平均),二、测量误差的分类与对策,（一）分类,偶然误差在相同的观测条件下，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”,粗差特别大的误差（错误）,例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。,（二）处理原则,粗差细心，多余观测,系统误差找出规律，加以改正,偶然误差多余观测，制定限差,如何处理含有偶然误差的数据？,例如：对同一量观
3、测了n次观测值为 l1,l2,l3,.ln如何取值？,如何评价数据的精度？,三、偶然误差的特性,1、偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值，则产生了n个真误 差：,(6-1-1),真误差,真值,观测值,例如：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角，三角形内角和的误差i为i=180(i+i+I)其结果如表6-1，图6-1,分析三角形内角和的误差I的规律。,误差区间 负误差 正误差 误差绝对值d K K/n K K/n K K/n 03 450.126 46 0.128 91 0.254 36 400.112 41 0.115 81 0.226 69 33
4、0.092 33 0.092 66 0.184 912 230.064 21 0.059440.123 1215 170.047 16 0.045330.092 1518 130.036 13 0.036260.073 1821 60.017 5 0.014 110.031 2124 40.011 2 0.00660.017 24以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000,表6-1 偶然误差的统计,-24-21-18-15-12-9-6-3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 X=,k/d,有限性：偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现
5、的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等,抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。,偶然误差的特性,有限性：在有限次观测中，偶然误差应小于限值。渐降性：误差小的出现的概率大对称性：绝对值相等的正负误差概率相等抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的平均数趋近于零。,6-2 评定精度的标准,一、方差和标准差（中误差）,中误差,二、相对中误差,平均误差,一、中误差,按观测值的真误差计算中误差,如果函数是连续型随机变量X的分布密度函数,概率,正态分布,m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。,两组观测值中误差图形的比较：,m1=2.
6、7m2=3.6,正态分布的特征,正态分布密度以 为对称轴,并在 处达到最大。当 时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在 处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率,区别错误与误差的阀值,随机变量X在区间（x1x2）之间的概率为则函数是连续型随机变量X的分布密度函数如果就得正态分布,三、极限误差,但大多数被观测对象的真值不知，任何评定观测值的精度，即：=？m=？寻找最接近真值的值x,6-3 观测值的算术平均值及改正值,集中趋势的测度（最优值）,中位数：设把n个观测值按大小排列，这时位于最中间的数就是“中位数”。众数：在n个数中，
7、重复出现次数最多的数就是“众数”。切尾平均数：去掉 lmax,lmin以后的平均数。,算术平均数：,满足最小二乘原则的最优解,一、算术平均值：,满足最小二乘原则的最优解,28,证明（x是最或然值）,将上列等式相加，并除以n,得到,二、观测值的改正值,若被观测对象的真值不知，则取平均数 为最优解x,改正值的特性,定义改正值,似真差,满足最小二乘原则的最优解,最小二乘,6-4观测值的精度评定,标准差可按下式计算,中误差,证明,将上列左右两式相减，得,分别取平方,取和,对,代入前式,计算标准差例子,小结,一、已知真值X，则真误差,一、真值不知，则,二、中误差,二、中误差,6-5 误差传播定律,已知：
8、mx1,mx2,mxn求：my=?,y=?,观测值函数的中误差 误差传播定律,二、几种常用函数的中误差,（一）和(差)函数,已知：mx,my,求：mz=?,二、几种常用函数的中误差,（一）和(差)函数,已知：mx,my,求：mz=?,和,二、几种常用函数的中误差,（一）和差函数,已知：mx,my,求：mz=?,和,二、几种常用函数的中误差,（一）和差函数,已知：mx,my,求：mz=?,二、几种常用函数的中误差,（一）和差函数,已知：mx,my,求：mz=?,和,二、几种常用函数的中误差,（二）倍乘函数,已知：mx,求：mz=?,和,平方,二、几种常用函数的中误差,（二）倍乘函数,已知：mx,
9、求：mz=?,解：,列函数式,中误差式,二、几种常用函数的中误差,（三）线性函数,已知：mxi,求：mz=?,（三）线性函数,特殊,xi为独立观测值,例6距离误差,例：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值；观测值的中误差；算术平均值的中误 差；算术平均值的相对中误差：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,二.误差传播定律,(四)一般函数的中误差公式误差传播定律,设有函数,xi为独立观测值,对上式线性化,中误差关系式：,小结第一步：写出函数式第二步：写出全微分式(线性化)第三步：写出中误差关系式注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。,观测值函数
10、中误差公式汇总,例已知某矩形长a=500米，宽b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面积中误差mp。,三、几种常用函数的中误差,例题,已知 有求：,错误,例题,已知 有；求：,观测值：斜距S和竖直角v待定值：水平距离D,6-6 误差传播定律应用举例,6-6 误差传播定律应用,观测值：斜距S和竖直角v待定值：高差h,误差传播定律应用举例,算术平均值 已知：m1=m2=.=mn=m 求：mx,算例：用三角形闭合差求测角中误差,误差传播定律的应用,例：要求三角形最大闭合差，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使
11、得三角形闭合差。,M,P,x,y,X,Y,O,由误差传播定律：,解：,P点的点位中误差：,例9：已知直线MP的坐标方位角=722000，水平距离D=240m。如已知方位角中误差，距离中误差，求由此引起的P点的坐标中误差、，以及P点的点位中误差。,6-7加权平均数及其中误差,现有三组观测值，计算其最或然值A组：123.34,123.39,123.35B组：123.31,123.30,123.39,123.32C组：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各组的平均值 A组：123.360 B组：123.333 C组：123.356,=?,加权平均数,各组的平均及其权 A组：123.360 权PA=3 B组：123.333 PB=4 C组：123.356 PC=5,()()(),一、权与中误差,平均数的权pA=3平均数的中误差m单位权中误差权与误差的平方成反比,二、加权平均数,三、加权平均值的中误差,四、单位权中误差的计算,如果m可以用真误差j计算，则,如果m要用改正数v计算，则,加权平均值标准差的算例,例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。,例：对某水平角进行了三组观测，各组分别观测2，4，6测回 计算该水平角的加权平均值。,五、权倒数传播定律,有；权倒数传播定律 m2 m2 m2 m2,例题,已知 求：,
