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1、研究生学位课程（4）,电磁场 理论,Theory ofElectromagnetic Fields,主讲 哈工大 江滨浩 教授,第四章 电磁波的传播,4.1 电磁场的定态波动方程4.2 平面电磁波4.3 电磁波在介质界面上的反射与折射 4.4 导电煤介中的电磁波4.5 电磁波在介质界面上的正入射4.6 波速度,回顾：波动是电磁场的基本属性,当 时，电场和磁场相耦合，相互为源，可以脱离电荷、电流，以波的形式存在于空间中,电磁波,无源情况下的麦克斯韦方程组,真空中：,电波动方程横波条件,磁波动方程横波条件,波速度,物质不灭定律，能量守恒与转换定律，质能关系，动量守恒定律,粒子性 光子,能量,动量,
2、质量,电磁波具有能量、动量、质量等物质的基本属性，服从物质基本定律,电磁波独立存在，不依附电荷与实物粒子可以互换与一般物质不同：光子无静止质量，真空中光速不变，电磁波具有空间共存性。,正、负电子对,两个光子,电磁波的物质性,电磁理论中的波问题,传播问题（介质中的本征模式），吸收（与物质相互作用，能量转换），辐射（发射、激发），散射，反射/折射，绕射/衍射（二次源辐射）,电磁波谱,VHF,FM,RF,行波管,磁控管,速调管,热物体,灯,电火花,弧光,激光,电磁波的波段划分及其应用,名 称频率范围波长范围典型业务甚低频VLF超长波 330KHz10010km导航，声纳低频LF长波，LW 30300
3、KHz101km导航，频标中频MF中波,MW 3003000KHz1km100mAM,海上通信高频HF短波,SW 330MHz100m10mAM,通信甚高频VHF超短波 30300MHz101mTV,FM,MC特高频UHF微波 3003000MHz10010cmTV,MC,GPS超高频SHF微波 330GHz101cmSDTV,通信,雷达极高频EHF微波 30300GHz101mm通信,雷达光频 光波 150THz3000.006m光纤通信,4.1 定态波动方程,对介质的考虑 介质的色散性质 电磁场的傅立叶变换 定态波动方程 Helmhotz 方程 电磁场时空联合傅立叶变换,严格地讲一般不成立
4、,对介质的考虑,介质中，电磁场方程能否写成 严格的（前述的）波动方程的形式？,如果可以，有无条件？条件是什么？,?,均匀、稳定的介质也不行！随时变的电场加在介质上，介质的响应会有延时，并且不同时间的作用会累加，因此响应的结果与过程有关。,?,介质中的微观粒子（如电子）由于其惯性，来不及响应外场,介质的色散性质,对一般的介质中的电磁场，不满足波动方程。怎么办？！,一般的介质具有色散性质，即介质对电磁场的响应性质与电磁场的变化频率有关：,色即是频率，散即是不同。“色散”就是对不同频率响应性质不同,电磁场的傅立叶变换,任一时域函数，可以视为由频域函数 叠加而成，反之亦然。这就是傅立叶（Fourier
5、）变换：,正变换,逆变换,对电磁场作傅立叶变换：,定态波动方程,若电磁场以特定频率随时间作简谐变化，称为 定态，即傅立叶分解的一个基态：,代入麦克斯韦方程：,其中：,定态波动方程,不是空间函数,Helmhotz 方程,定态情况下的电磁场方程可以写成：,此处的 是电磁场的振幅，时间变化部分不包含在内,电磁场时空联合傅立叶变换,对任一时空变化的函数，可以进行时空联合的傅立叶变换：,逆变换,任意的时空函数，可以写成下列基（本）函数之叠加：,正变换,时空（时域）表达式：波函数的宗量形式：,课堂休息,课 堂 休 息,平面波 平面波是 Helmhotz方 程的解 平面电磁波特性 平面电磁波能流 极化,4.
6、2 理想介质中的平面波,时空变化电磁场傅立叶变换中的一个基函数谱函数。平面电磁波也可看作是均匀、无限大介质中远离场源区域麦克斯韦方程 的解,实际要求：均匀空间的线度远大于波长，无反射 理想介质：均匀且无介质损耗,平面波,一般平面波形式为：,称为波矢，代表波传播方向，波数,空间两点，,若满足,平面波,则场相同，垂直于 的平面上各点场值相同,相速度：(传播方向上）相位传播速度,称为振幅,平面波是 Helmhotz 方程的解,对平面波，微分算符变成代数算符：,平面电磁波特性,平面电磁波：,平面电磁波为横波:,相互垂直，构成右手螺旋:,同相位，,波阻抗：同方向 电场/磁场,（TEM 波）,平面电磁波能
7、流,平面电磁波能量密度：,电、磁能量相等，可相互转换,能量、能流密度瞬时值：,平面电磁波能流密度：,能流方向为波矢方向，其值为能量密度与相速度之积,能量、能流密度时间平均值：,波极化（1）,特定的平面电磁波有一个独立变化的矢量，但 两个自由度、两种状态 偏振态电场可分解两个矢量之和,偏振系指电场矢量 在垂直于传播方向的平面内的随时间变化的（振动）状态，电场强度 矢量末端随时间变化的轨迹,直线极化 设 x 为波的传播方向,合成,Y-轴取向直线极化波Z-轴取向直线极化波,极化方向与时间无关.两个相位相同(或相反），振幅不等的空间相互正交的 线极化平面波，合成后仍然形成一个线极化平面波，反之可分解。
8、,波极化（2）,圆极化,特点：Ey 和 Ez 振幅相同，相位差90,合成后,E y 超前 E z 为右旋极化波,Ey 滞后 Ez 为左旋极化波,可见，两个振幅相等，相位相差 90 度的空 间相互正交的线极化波，合成后形成一个圆 极化波；反之可分解,还可证明，一个线极化波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。反之亦然,波极化（3）,椭圆极化,特点：和 的振幅不同，相位不同。,合成后,椭圆的长轴与 y 轴的夹角为,-分为右旋极化和左旋极化,若 椭圆的长短轴与坐标轴重合,若 时，椭圆极化 直线极化,若 时，,椭圆极化 圆极化,波极化（4）,电磁波的极化特性的实际应用 圆极化波穿过雨区时受到的吸收衰减
9、较小，全天候雷达宜用圆极化波 在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应 该使用圆极化电磁波 在无线通信中，为了有效地接收电磁波的能量，接收天线的极化特性 必 须与被接收电磁波的极化特性一致 在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，例如，铁氧体环行器及隔离器等 立体电影是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才能看到立体效果。,电磁波不一定具有固定的极化特性，其极化特性可能是随机的。将电磁 波的极化称为偏振，为了获得偏振光必须采取特殊方法。,课堂休息,课 堂 休 息,4.3 电磁波的反射与折射,引 言
10、 介质界面上的边值关系 反射、折射定律 菲涅耳公式 全折射，线偏振 全反射，表面波,引 言,界面介质电磁特性的突变，入射电磁波在界面两侧的薄层内感应出时 变的极化电荷（电流）和磁化电流，成为新的电磁波辐射源。新的辐 射源向界面两侧辐射电磁波，其中在入射波所在空间的部分称为反射 波，在界面另一侧的称为透射波或折射波。包括两个方面：运动学规律:入射角、反射角和折射角的关系 动力学规律:入射波、反射波和折射波的振幅比和相对相位关系,感应极化电荷极化电流层等,感应极化电荷极化电流层等,完全依赖于电磁场的特定性质以及边界条件,介质界面上的边值关系基本方程,一般情况,方程,边条件,无源、介质情况,证明：其
11、它两个方程和 边界条件是不独立的,平面电磁波边界条件几何,考察两介质界面为无限大平面,对于平面电磁波的边界情况，设入射波在介质 1 中，在边界处激发新的波，其中在介质 1 内传播的称为反射波，在介质 2 中传播的波称为折射波。频率不变，这是边界条件满足的基本要求。,（1)入射波（介质 1 内）：,（2)反射波（介质 1 内）：,（3)折射波（介质 2 内）：,三波矢共面,由电场边界条件,反射波矢、折射波矢与入射波矢在同一平面上（入射面）,由于对任意 成立，有：,取入射波波矢在 平面：,证 明,反射、折射定律,波矢关系：,反射定律、折射定律电磁波运动学结论相位匹配条件:反射波及折射波的相位沿边界
12、的变化始终与入射波保持一致,衔接条件的要求射线是可逆的，即入射波从哪种介质入射如上结果均成立,而,垂直偏振与平行偏振,电磁波有两种偏振态，这里划分：（1）垂直偏振，电场矢量垂直入射面（TE 波）（2）平行偏振，电场矢量在入射面内（TM 波）,若入射波是垂直偏振，则反射、折射波也是垂直偏振若入射波是平行偏振，则反射、折射波也是平行偏振,证 明,但当入射是圆极化时，反射波和折射波可能是椭圆极化的，且旋转方向也不同 除非垂直和平行偏振态情况下，两种偏振的反射系数和折射系数相同。,附：诸k 相等之证明,证明：将上式分别对 微分一次、二次，有,非平庸解要求：,至少有两者相等，设：,对任意 有,则有,证毕
13、,附：垂直偏振波入射情况,证明：由振幅边界条件,由横波条件:,证毕,以上 4 方程是关于 的线性齐次方程,附：平行偏振波入射情况,证明：由振幅边界条件,证毕,以上 2 方程是关于 的线性齐次方程,垂直偏振入射时振幅关系,联立，解有,基本方程组,平行偏振入射时振幅关系,联立，有,基本关系,总结：菲涅耳（Fresnel）公式,课堂休息,课 堂 休 息,基 本 特 征,垂直极化的反射系数的幅角保持定值 不变；模随波的入射角的增加 而增大，但变化缓慢 平行极化时；当，反射系数下降减小，幅角约为零恒值 当 时，反射系数模变为零，幅角发生突变；当 反射 系数模随入射角的增加增大，幅角为恒定值（约为）,当入
14、射角（正投射）时，异号？(如前图）,当入射角（称为斜滑）投射时，,当十分倾斜观察物体表面时，物体显得明亮,低空雷达盲区,半波损失,对垂直极化波，当平面波从光疏介质入射到光密介质时，根据,对水平极化波，当,此时，,如上结果与前页图示 相同。反射波与入射波的相应分量反向，即反射波与入射波位相相差，好象差个半波长，称为半波损失 但，对垂直极化波，当平面波从光密介质入射到光疏介质时，即 反射波与入射波同位相，无半波损失。,全折射，线偏振器,当反射系数为零时，可认为电磁波发生全折射,由知 当,而垂直极化波的反射系数，仅当 不可能发生无反射,若以布鲁斯特角向边界斜投射时，反射波中只剩下垂直极化波。即可获得
15、 具有一定极化特性的偏振光。例，相对介电常数为 当入射以布鲁斯特角 入射时，,布鲁斯特角,全反射（1）,直角坐标系下 Helmhotz 方程解的一般形式：,可以小于零,标记,无论何种极化，的现象称为全反射。,显然，当，即,因函数，故仅当 时才可能发生全反射现象。只有当平 面波由光密媒质进入光疏媒质时，才可能发生全反射现象。,全反射（2）,根据斯耐尔定律，可见当入射角满足上式时，折射角已增 至。因此，当入射角大于发生全反射的角度时，全反射现象继续存在 现研究入射角大于临界角情况，此时,x,z,介质1,介质2,反射系数的模值为1，但幅角不同,全反射（3）,当波束以大于临界角的入射角向边界投射时，即
16、可发生全反射，光波局限在芯线内部传播，导波原理 介质波导,例 电磁波以角度 入射,并只在棒内传播，求该棒的相对介电常数 的取值范围,临界入射角,当，即,发生全反射,因为,解得,折射定律,表面波（加装金属外壳可屏蔽掉，形成光缆）,表面波（1）,折射波应该与入射波相同，是平面电磁波，以保证边界条件的成立,折射定律,当入射角大于临界角时,折射波,表面波（2）,沿介质表面传播的行波表面波,垂直方向上的指数衰减,表明当入射角度大于临界角时，介质2中与介质表面垂直方向是指数衰减（非波宗量）；介质切向方向是行波 表面波 透射波磁场 x 分量滞后电场 y 分量 的相位，沿 z 的向的能流密度 为零。折射波能量
17、不沿 z 向传播，而被反射回介质 1中.介质2类似于电感器，在周期时间内，介质2从入射电磁波中获得能量，另一半周期内释放能量，并返回介质1。,表达式,表面波（3）,表面波是慢波,因为 所以，表面波的相速度是小于同介质中的相速度,表面波将电磁场的空间压缩在 1-2 波长的空间内，相应的增加了场强,表面波的应用实例：超视距雷达，临近空间电推进器,课 堂 休 息,课 堂 休 息,4.4 导电媒质中的电磁波,导体内部自由电荷密度 导体等效复介电常数 复波矢 均匀导电媒质中电磁波 理想导体表面上平面波的斜入射 横磁波，横电波 波导,导体内部自由电荷密度为零,导体内部电磁场方程：,导体内部电荷密度随时间指
18、数衰减，时间尺度为：,与静电情形类似，导电内部不存在电荷分布，只分布在导体表面。但机理不同,导体等效复介电常数,定态情况下，导体也可以用介质方法处理：,导体中有自由电荷、电流导体中极化、磁化现象可略,定态情况下，导体的电磁场运动方程：,定态情况下自由电荷与极化电荷作用相当导体可以视为具有复介电常数的介质,、相位相差,说 明,复介电常数的实部代表位移电流对磁场的贡献，虚部是传导电流对 磁场的贡献 位移电流与电场有 900 相位差，它不引起电磁波能量的耗散。传导 电流与电场相位相同，它引起电磁波能量在传播过程中的耗散。可以 预言导电介质中电磁波振幅将随传播距离增加而减小 复介电常数的引入，使得导电
19、介质中场的方程与理想介质场的方程 形式上完全一致,导电媒质中的相速和波长,不仅与媒质参数有关，而且还与频率 有关。各个频率波的相速不同，经过一段距离后，各个频率分量之间的相位关系将发生变化，导致信号失真，这种现象称为色散。导电媒质为色散媒质,-频率非线性函数,导体中电磁波方程与解,导体中电磁波方程：,其中：,平面波解：,必须为复矢量：,传播方向，为衰减方向,证明导电媒质 中，电磁场量的（广义）波动方程为（作业）电导率热损失外，媒质的极化和磁化也会损耗。相应介电常数和磁导率 本身为复数,包含扩散（方程）损耗项,复波矢求解,复波矢方程：,由空间入射至导体表面（x y-平面），入射面为 x z-平面
20、，由波的运动学结论知波矢关系：,利用边界上的波矢关系，可以决定,于是，导电媒质与理想介质分界面上的反射和折射波的等相位面与等振幅面不同,i,r,1 1,2 2 2,z,波面,波面，等幅面,t,等幅面,均匀导电媒质中电磁波（1）,为方便讨论，设电磁波沿 z 方向传播,导电介质空间中的电磁波为：,波阻抗,电场和磁场的相位不同，电场超前与磁场,要量：,均匀导电媒质中电磁波（2）,z,仍为平面波（TEM波），但指数衰减,因电场与磁场相位不同，复能流密度的实部及虚部均不会为零，导电媒质中的平面波既有单向流动的传播能量，又有来回流动的交换能量(回授现象）,媒质的导电性 为了定量描述导电介质的导电强弱的程度
21、，可根据导电 媒质中传导电流与位移电流之比,弱导电媒质 半导体 良导体,良导体中，以传导电流为主，弱导电媒质（理想介质）中，以位移电流为主,均匀导电媒质中电磁波（3）,两种特殊情况,具有低电导率的介质，此时,电场与磁场同相，振幅衰减弱。与理想介质情况几乎一致,良导体情况，此时,电场超前于磁场相位差为45度，振幅衰减程度和相速度与频率和电导率有关,良导体中磁能为主,磁场表达式,磁能密度：,导体中，电磁波以磁场能量为主，电能更容易直接转换为导体的热能,趋肤效应,描述电磁波在导电媒质中衰减特征量 透入深度,-高频穿透深度极小，仅存在于表面，趋肤效应,-将场幅度衰减 所传播的距离,由于趋肤效应，导致导
22、体的高频电阻必然大于低频或直流电阻（有效面 积减小）,铜：50 Hz 100 MHz,（见后页）,导体表面阻抗,设电磁波垂直入射进入导电媒介,定义单位长度导体表面阻抗（可表示任意导体表面的阻抗）：,（单位面积）平均能量损耗密度：,导体内的电磁场：,定量地给出高频情况下描述导体趋肤效应的工程量,导体内的总电流（只分布在表面）表面电流,作业：比较直流情况的结果,理想介质与良导体中均匀平面波的比较,理 想 介 质,良 导 体,相同点,不同点,E 和 H 是时间 t 及传播方向的坐标的函数,沿传播方向没有 E 与 H 的分量，即为 TEM 波,E,H,S 在空间上相互垂直,等幅波,波阻抗为实数,与 同
23、相,波速与 无关，电磁波为非色散波,波速与 有关，电磁波为色散波。,波阻抗为复数,减幅波,超前,理想导体表面上平面波的斜入射,假定第一种媒质为理想介质，第二种媒质为理想导电体，即,那么反射系数为,无论入射角如何，均会发生全反射，但上半空间的场分 布与平面波的极化特性有关,理想导体边界条件（内部电磁场为零）,-电场垂直于导体表面-磁场平行于导体表面,-电场的平行分量为零，-电场的垂直分量法向 导数为零,自然条件,平行极化波斜入射/横磁波（1）,对于平行极化波，下半空间的合成电场的 x 分量为,同理可得合成电场的 z 分量及合成磁场分别为,可见，合成波的相位随 x 变化，而振幅与 z 有关，合成波
24、为向正 x 方向 传播的非均匀平面波 由于在传播方向 x 上存在电场分量 x，合成场是非 TEM 波，而磁场垂 直于传播方向，即横磁波或 TM 波,H,x,平行极化波斜入射/横磁波（2）,由上求得 E x 分量的振幅为,振幅沿 z 轴的变化为正弦函数,而 E z 分量和 H y 分量沿 z 轴的变化为余弦函数,可见，在 z 方向上形成 驻波，沿 x 方向上为行波,H,x,合成波的复能流密度矢量为,在 x 方向上存在单向的能量流动，而在 z 方向上只有电磁能量的相互交换,垂直极化波斜入射/横电波,对于垂直极化波，同样可以求得下半空间合成场的各个分量分别为,可见，合成场同样构成向 x 方向传播的非
25、均匀平面波，但电场垂直于传播方向，合成场称为横电波或 TE 波。,E,x,-同样，在 x 方向上存在单向的能量流动，而在 z 方向上只有电磁能量的相互交换,TM 波/TE 波 波导（1）,如上分析表明，当入射波斜射到导体表明时，入射波和反射波合成的波沿 边界传播，因此导体表面有导行电磁波的功能 平行入射波时为 TM 波，垂直入射波时为 TE 波，且在 处，电场为零。如果在 处放置一块无限大的理想导电平面，不会破坏原来的场分布 如果实际放置导体平面，并认为电 磁波在两个导体表面间连续反射而 传播导向 TM/TE 波.在放置导体 平面后，导体板外侧的电磁波为零。因此，在两块相互平行的无限大的 理想
26、导体可导行电磁波波导。,z,1=0,2=,x,TM 波/TE 波 波导（2）,如果在垂直于y-轴上放置两个导体平面，那么，对 TM 情况，电场平行导体平面，其间的电磁场均无影响。对 TE 情况电场是垂直平面的，不影响边界条件 成立。两种情况均满足波导特有的边界条件（见后），因此，封闭的局限导体管可导行电磁波波导。此外，波导的几何尺寸要求 因此，波导不能导行大于 波 长的电磁波。故有截止波长和截止 频率的限制（概念）。,课堂休息,课 堂 休 息,4.5 电磁波正入射/驻波,正入射到理想导体/驻波 平面波对理想介质的正入射 驻波比 入端（等效）阻抗 半波窗和阻抗变换器,正入射到理想导体/驻波（1）
27、,-理想导体中,平面波正入射到理想导体,-分界面上,-理想介质中,瞬时形式,振幅随 x 作正弦变化，相位与 x 无关,无波动性,称为驻波,驻波的能量 电能与磁能相互等值交换,正入射到理想导体/驻波（2）,理想导体表面必有感应电流,波节与波腹,称为波节,E 最大,称为波腹,Ex 00,x,1=0,2=,t1=0,磁场电场在空间上相差。,反射场的源,平面波对理想介质的正入射,分界面边界条件,区域,行驻波，能量一部分返回电源，一部分传播,区域,行波、等幅波,驻波比,z,标记,当 时，,电磁波是行波/驻波,当 时，阻抗匹配，,全透射，电磁波是行波,当（导体）时，全反射，电磁波是驻波。,驻波比,（行波，
28、全透射),(驻波，全反射）,（部分反射）,入端（等效）阻抗,式中,是媒质分界面处(x 0)的反射系数。Z(x)是 x 处的入端阻抗。,波阻抗等效,将均匀介质的波阻抗推广到不同介质组成的介质空间中，将z右边视为一种介 质空间所表现出的阻抗,反过来,半波窗和阻抗变换器,已知波阻抗，试求当均匀平面波正入射到介质1,2 的界面时，不发生反射的 d 及,思路,若介质 1 中无反射，则,可给出 d 及 求解方程,式中,又,依次代人可列得出方程,半波窗和阻抗变换器,方程实部和虚部为零：,当 时，令 两式均成立,解得,称为“半波窗”,即有,当 时，,令,电磁波可完全地通过半波介质而无损耗,克服电磁反射而使电磁
29、波能量透射，在实际中有广泛的应用。例，雷达天线罩,电磁波可完全地通过 厚度的介质阻抗变换器,阻抗匹配,阻抗变换器,相速度 群速度 信号速度,4.6 波速度,波速度,电磁波的速度 变化的电场和磁场相互激发在空间传递的速度可视为电磁波的速度。但对于波动而言，存在着不同物理量的传播速度。如：波动相位、波动能量和电磁波信号传播速度。他们之间存在联系和差别。,色散关系 由波函数 似乎可有 但由于色散性 使得各个速度不同,且关系复杂.引起色散的原因:媒质本身的属性,边界条件的限制,传播信号的性质等等,相速度,相速度定义为波列上等相位面的传播速度 波函数 对应的等相位面为.于是 例如,导电媒质中 衰减系数
30、相位系数 理想介质中,单色波情况下(频率不变-定态)/理想介质,群 速 度(1),严格意义上的单色电磁波不存在.同时,一个时间和空间上无限延伸的 单色平面电磁波不能传递任何信息。群速度定义为频率很窄的调制波的 波群(波包)的传播速度。根据 Fourier 理论，空间 x 点 t 时刻的电磁可表示为不同频率、不同振 幅和不同初相位的谐变波(单色波)的叠加.设 为波频率脉宽,如果 随 变化是缓慢的,则在 范围内可把 用 代替.再把 在 附近展开,取一级近似,有,群 速 度(2),故有,可见,是单色电磁波 的振幅.,振幅 随 的特征 是集结在一定区域范围内(波包).它 是波宗量 的函数;于是,整个波
31、包状态 在空间中传播的,其传播的速度可由,群 速 度(3),表示整个波包在空间运动的速度,即波包的群速度.,相位因子 变化状态的速度是载波的相速度:,例 设 x 向传播的两个频率非常接近的电磁波：,其合成信号为,式中,由于，因而在一个足够小的时间间隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时，第二个余弦项已经历了几个周期的变化，所以 代表载频，代表调制频率。显然,群速度和相速度为,波包 载波,与前页定义不同,这是一个幅度变化缓慢的调幅信号。振幅形成的波包随载波一起运动,群速度与相速度的关系,非色散 时,色散时,(正常色散).(反常色散),群速度有确定意义时(例在弱色散和正常色散区)，可表示能量的传播速度 若 的展开式中必须考虑二阶项,可证明,波包将随时间变形发散 反常色散时,群速度可大于光速,无穷,或取负值.,后两种情况,群速度已无意义,要引入信号速度来描述,信号速度,在反常色散区，群速可能大于真空光速。违反狭义相对论,群速已失去意义 Sommerfeld 和布里渊(Brillomin)研究了信号在色散媒质中的传播问题。其结论如图所示,下课 再见!,
