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1、,使几何元素在投影体系中处于特殊位置，直接利用平行性的投影特性 获得实长、获得实形、实角、利用积聚性投影特性 获得实角；获得两几何元素的交集。,6-1 概述,下一节,返回,投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。常见的投影变换方法有换面法和旋转法。,退出,利用平行性获得实长,特殊位置,一般位置,返回,利用平行性获得实形,实形,特殊位置,一般位置,返回,利用平行性获得实角,特殊位置,一般位置,返回,利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集,特殊位置,一般位置,返回,一、换面法的基本概念,二、点的投影变换规律,2、点的两次变换,3、四个基本问题,(1
2、)把一般位置直线变为投影面平行线,1、点的一次变换,6-2 换面法,(2)把一般位置直线变为投影面垂直线,(3)把一般位置平面变为投影面垂直面,(4)把一般位置平面变为投影面平行面,点在V1/H 体系中的投影,点在V/H1体系中的投影,上一节,下一节,返回,退出,1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置,换面法的基本概念,2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面,选择新投影面的原则：,投影图,动 画,中途返回请按“ESC”键,点的一次变换,点在V1/H 体系中的投影,不变投影,新投影,旧投影,动 画,中途返回请按“ESC”键,点的一次变换,点在V/H1体系中的投影,旧投影,不变投影,新
3、投影,动 画,中途返回请按“ESC”键,点的二次变换,动 画,中途返回请按“ESC”键,把一般位置直线变为投影面平行线,更换水平投影面,动 画,中途返回请按“ESC”键,把一般位置线变为投影面垂直线,一次变换可将投影面平行线变换为投影面垂直线,动 画,中途返回请按“ESC”键,把一般位置平面变为投影面垂直面,正平线,动 画,中途返回请按“ESC”键,把一般位置平面变为投影面平行面,一次变换可将投影面垂直面变为投影面平行面,中途返回请按“ESC”键,工程实际抽象出来的几何问题，如距离、角度的度量；点、线、面的定位等，并不是单纯的平行、相交、垂直问题，而多是较复杂的综合问题，其突出特点是要受若干条
4、件的限制，求解时往往要同时满足几个条件。解决此类问题的方法通常是：分析、确定解题方案及投影图上实现。分析时，首先根据给出已知条件和求解要求，想出已知空间几何模型，然后进行空间思维，想象出最终结果的空间几何模型，最后确定从已知几何模型到最终结果几何模型的空间解题步骤。如果最终结果的几何模型难以直接确定，则常采用“轨迹法”，即逐个满足限制条件，找出满足每一个条件的无数解答的集合（通常称之为满足该条件的轨迹），多个条件则形成多个轨迹，这些轨迹的交集即为所求，再弄清该集合是什么形状，在投影图上如何实现。,6-5 综合性问题解法举例,综合性问题解法举例（一）,距离和角度的度量,综合性问题解法举例（二）,
5、解题中的常见轨迹,上一节,返回,退出,下一页,解题中的常见轨迹,1.过定点与定直线相交的直线的轨迹,2.与定平面平行（等距）的直线的轨迹,3.与两相交直线或两相交平面等距的点的轨迹,4.与定直线等距的点的轨迹,5.与定直线平行，且距离为定长的直线的轨迹,6.与定直线距离为定长的直线的轨迹,7.过直线上一点与该直线保持固定夹角的直线轨迹,9.与定点等距的点的轨迹,另外。题目中若出现正方形、矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形等边三角形、到两点等距等，它们的轨迹通常为一直线的垂面。因为这些几何图形都具有垂直要素，例如：菱形的对角线 垂直平分；等腰三角形底边上的高垂直平分于底边等。解题时，可利用这些图
6、形的几何性质。,平面。,圆柱面。,其平行面。,其角平分面。,圆柱面。,一圆柱面的切平面。,圆锥面。,圆球面。,8.过一点与定平面保持固定夹角的直线轨迹,圆锥面。,中途返回请按“ESC”键,过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线CD 相交,综合性问题解法举例（一）,解题方案一(空间分析)：,在V/H 投影体系中直接解题,应用换面法解题,解题方案二（空间分析）：,在V/H 投影体系中直接解题,应用换面法解题,试过定点A作直线与已知直线EF正交,在V/H 投影体系中直接解题,应用换面法解题,矩形ABCD 的顶点B 在直线MC 上，画出它的V、H 面投影,过线段AB 作一平面垂直于平面DEF,例5
7、,例4,例6,例7,退出,距离的度量,1.点到点之间的距离,2.点到直线之间的距离,4.两交叉直线之间的距离,5.点到平面之间的距离,6.直线到平面之间的距离,3.两平行直线之间的距离,角度的度量,1.两相交直线之间的夹角,2.直线与平面间的夹角,3.两平面间的夹角,7.平面到平面之间的距离,退出,1、点到点之间的距离,中途返回请按“ESC”键,2、点到直线之间的距离,中途返回请按“ESC”键,4、两交叉直线之间的距离,在V/H 投影体系中直接解题,应用换面法解题,求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置,例9,中途返回请按“ESC”键,5、点到平面之间的距离,平行四边形AB
8、CD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离,例10,中途返回请按“ESC”键,6、直线到平行平面,过直线上任一点作平面的垂线,中途返回请按“ESC”键,两相交直线之间的夹角,中途返回请按“ESC”键,直线与平面间的夹角,求直线HG 与平面的夹角，平面由四边形ABCD 给定,求直线AB 与平面DEF 之间的夹角,例11,例12,中途返回请按“ESC”键,两平面间的夹角,求ABC 与ABD 之间的夹角,例13,中途返回请按“ESC”键,在直线AB 上求一点K,距点C 为20 mm,综合性问题解法举例（二）,符合求解条件的“轨迹”为圆球面,过点A 作直线，令它与H 面夹角为45度，并垂直于线段BC,
9、找出与点A 距离为L，与直线CD 距离为L1 的所有点的集合,符合求解条件的“轨迹”为圆锥面,符合求解条件的“轨迹”为圆球面和圆柱面,例14,例15,例16,退出,本章结束,返回,退出,上一页,投影图：,ABC实形,中途返回请按“ESC”键,更换水平投影面,中途返回请按“ESC”键,一次变换可将投影面平行线变为投影面垂直线,动 画,中途返回请按“ESC”键,解题方案一：,例4：过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交,中途返回请按“ESC”键,解题方案二：,例4：过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交,中途返回请按“ESC”键,空间分析：,例5：试过定点A 作直线与已
10、知直线EF 正交,中途返回请按“ESC”键,空间分析：,解题思路：,2.两相交直线BC、AB确定的平面即为所求,1.过直线AB上任一点B作平面DEF的垂线,例7：过线段AB 作一平面垂直于平面DEF,中途返回请按“ESC”键,空间分析：,解题思路：,3.过垂足N作直线EF平行于直线AB,交直线CD于点S,2.过直线AB上任一点M作平面P的垂线，求出垂足N,例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置,1.含直线CD作平面P平行于AB,4.过点S作直线ST平行于直线MN,ST即为所求,中途返回请按“ESC”键,空间分析：,解题思路：,2.在新投影面H2上直接求作距离的投影即反
11、映实长,例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置,1.将两直线之一变换为投影面垂直线,中途返回请按“ESC”键,解题思路：,例11 求直线HG 与平面的夹角，平面由四边形ABCD 给定,1.过点H 作平面ABCD 的垂线,中途返回请按“ESC”键,解题思路：,例12 求直线AB与平面DEF之间的夹角,中途返回请按“ESC”键,解题思路：,例13 求两平面之间的夹角,中途返回请按“ESC”键,例4 过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交,解题步骤：,空间分析,3.连KS 即为所求,1.过点K 作平面KFG 平行于CDE,2.求直线AB 与平面KFG 的交点S
12、,在V/H 投影体系中直接解题：,解题方案一,中途返回请按“ESC”键,例4 过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交,解题步骤：,5.连k1s1,应用换面法在H/V1体系中解题：,解题方案一,中途返回请按“ESC”键,例4 过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交,在V/H 投影体系中直接解题：,解题方案二,空间分析,解题步骤：,中途返回请按“ESC”键,例4过点K 作直线与平面CDE 平行，并与直线AB 相交,解题方案二,应用换面法在V/H1体系中解题：,解题步骤：,中途返回请按“ESC”键,例5 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交,解题步骤：,空间分析,在V/
13、H 投影体系中直接解题：,中途返回请按“ESC”键,例5 试过定点A 作直线与已知直线EF 正交,解题步骤：,2.点A 随之变换,应用换面法在H/V1体系中解题：,中途返回请按“ESC”键,例6 矩形ABCD 的顶点B 在直线MC 上，画出它的V、H 面投影,解题步骤：,2.点A 随之变换,空间分析：,中途返回请按“ESC”键,例7 过线段AB 作一平面垂直于平面DEF,解题步骤：,5.将b1c1返回原体系,空间分析,中途返回请按“ESC”键,例8 求两平行直线AB 和CD 之间的距离,在V/H 投影体系中直接解题：,解题步骤：,中途返回请按“ESC”键,例8 求两平行直线AB 和CD 之间的
14、距离,应用换面法在H/V1体系中解题：,应用换面法在V1/H2体系中解题：,解题步骤：,解题步骤：,中途返回请按“ESC”键,例8 求两平行直线AB 和CD 之间的距离,应用换面法在V1/H2体系中解题：,解题步骤：,中途返回请按“ESC”键,例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置,解题步骤：,空间分析,在V/H 投影体系中直接解题：,中途返回请按“ESC”键,例9 求两交叉直线AB 和CD 的距离，并定出它们的公垂线的位置,解题步骤：,3.将s2t2返回原体系,空间分析,应用换面法解题：,中途返回请按“ESC”键,例10 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至
15、该平面的距离,解题步骤：,2.点S 随之变换,空间分析：,中途返回请按“ESC”键,例11 求直线HG 与平面的夹角，平面由四边形ABCD 给定,空间分析,中途返回请按“ESC”键,例12 求直线AB 与平面DEF 之间的夹角,空间分析,中途返回请按“ESC”键,例13 求ABC 与ABD 之间的夹角,空间分析,解题步骤：,2.两平面 随之变换,中途返回请按“ESC”键,例14 在直线AB 上求一点K,距点C 为20 mm,解题步骤：,圆球面随之变换,求作贯穿点K,中途返回请按“ESC”键,例15 过点A 作直线，令它与H 面夹角为45度，并垂直于线段BC,解题步骤：,中途返回请按“ESC”键,换面法的基本概念,退出,点的一次变换V1/H,退出,点的一次变换V/H1,退出,点的二次变换,退出,把一般位置直线变为投影面平行线,退出,把一般位置直线变为投影面垂直线,退出,把一般位置平面变为投影面垂直面,退出,把投影面平行线变为投影面垂直线,退出,7、两平行平面之间的距离,过一平面上任一点作另一平面的垂线,中途返回请按“ESC”键,
