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1、等差数列前n项和,第一课时,复习引入,1.等差数列定义：即anan1 d(n2).,2.等差数列通项公式：,(2)anam(nm)d.,(3)anpnq(p、q是常数),(1)ana1(n1)d(n1).,复习引入,3.几种计算公差d的方法:,复习引入,4.等差中项,成等差数列.,mnpq amanapaq.,(m，n，p，qN),5.等差数列的性质,高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说:“现在给大家出道题目:1+2+100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050”,教
2、师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以10150=5050”.,“倒序相加”法,1+2+3+n=？,解：记 Sn=1+2+3+n-2+n-1+n,则有 Sn=n+n-1+n-2+3+2+1；,对应相加得:2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+（n-1+2)+(n+1)=n(n+1),则Sn=,倒序相加法,想：探求三角形面积,后分,变：,“知三求二”,【例1】已知等差数列an.(1)a1=a15=Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.【规范解
3、答】（1）a15=+(15-1)d=d=又Sn=na1+d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.（2）由已知，得S8=解得a8=39,又a8=4+(8-1)d=39,d=5.,【变式训练】在等差数列an中，已知a6=10，S5=5，求a8.【解析】方法一：设公差为d,a6=10，S5=5，解得 a8=a6+2d=16.方法二：设公差为d,S6=S5+a6=15，15=即3（a1+10）=15.a1=-5，d=3.a8=a1+（8-1）d=16.,【例2】Sn是等差数列an的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110.【审题指导】题目给出等差数列an中的S10=100，S100=10
4、，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Smk-S（m-1）k,构成公差为k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.,【规范解答】方法一:设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则Sn=na1+由已知得10-,整理得d=代入,得a1=S110=110a1+=-110.故此数列的前110项之和为-110.方法二：设Sn=An2+Bn100A+10B=10010000A+100B=10，解得A=-11/100，B=111/10，S110=-110,方法四:数列S10,S20-S10,S30
5、-S20,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D,前10项和为10S10+D=S100=10 D=-22,S110-S100=S10+(11-1)D=100+10(-22)=-120.S110=-120+S100=-110.,方法三:Sn=,练习：1、等差数列an的前n项和为Sn，已知S8=132，Sm=690，Sm-8=270（m8），则m为（）2、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，前3m项和为（210）,知识点：等差数列前n项和的性质的应用(1)项数（下标）的“等和”性质：Sn=(2)项的个数的“奇偶”性质：等差数列an中，公差为d：若共有2n项，则S
6、2n=n（an+an+1）；S偶-S奇=nd；S偶S奇=an+1an；,若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶-S奇=-an+1；S偶S奇=n（n+1）；“片段和”性质：等差数列an中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Smk-S（m-1）k,构成公差为k2d的等差数列.,【变式1】等差数列an中，a2+a7+a12=24，求S13.【解题提示】利用等差数列的性质Sn=【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以a7=8，所以S13=138=104.,【变式2】已知等差数列an的前4项和为25，后4项和为6
7、3，前n项和为286，求项数n.【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数列项数（下标）的“等和”性质：Sn=来求得.,【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22，所以Sn=11n=286，所以n=26.故所求的项数为26.,【奇数项偶数项题组】第二课时例4:等差数列an中(1)共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求公差d；(2)前12项之和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d(3)前n项
8、和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为76，求中间项.(4)项数为2n+1，若所有奇数项的和为165，偶数项和为150，求n(5)S100=45，d=1/2，求a1+a3+a5+a99,【3】已知等差数列an的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为76，求中间项.【解题提示】在等差数列an中，若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1；S偶S奇=n（n+1）.【解析】因为n为奇数，所以 所以n=13，所以13a7=S13=377，所以a7=29，故所求的中间项为29.,第三课时【最值问题】【典例】（12分）在等差数列an中，a1=
9、25，S17=S9，求Sn的最大值.【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an0,an+10或利用性质求出大于或等于零的项.,【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得2517+=25 3分解得d=-2，6分Sn=25n+（-2）=-（n-13）2+169，9分由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169.12分,方法二：先求出公差d=-2（同方法一），6分a1=250,故an为递减数列，由 得 解得 9分即 又nN*当n=13时，Sn有最大值S13=1325+（-2）=169.12分,方法三：先求出公差d=
10、-2（同方法一），6分由S17=S9，得a10+a11+a17=0，而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，故a13+a14=0 9分d=-20,a10,a130,a140.故n=13时，Sn有最大值169.12分,【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：,【即时训练】在等差数列an中，a1=50，d=-0.6.（1）从第几项起以后各项均小于零？（2）求此数列前n项和的最大值.【解题提示】（）实质上是解一个不等式，但要注意为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题【解析】（1）a1=50，d=-0.6,an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6.令-
11、0.6n+50.60，则n 84.3.由nN*,故当n85时，an0，即从第85项起以后各项均小于0.,(2)方法一：a1=500，d=-0.60，由（1）知a840，a850，S1S2S3S84，且S84S85S86.（Sn）max=S84=5084+（-0.6）=2 108.4.方法二：Sn=50n+（-0.6）=-0.3n2+50.3n=-0.3（n-）2+当n取最接近于 的自然数，即n=84时，Sn取得最大值S84=2 108.4.,【最值问题题组】等差数列an中(1)a10，a2003+a20040，a2003a20040成立的最大自然数n是（）(2)若S190，S200，则S1a1
12、，S2a2，S19a19中最大的项是（）(3)a100，a110，且a11|a10|，使Sn0的n的最小值为（）(4)已知|a3|=|a9|，d0，则使它的前n项和Sn取得最大值的自然数n等于（）(5)公差d0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和Sn的最大值为（）,性质应用1、设数列an是项数为20的等差数列，公差dN+，且关于x的方程x2+2dx-4=0的两个实根x1、x2满足x11x2，则数列an的偶数项之和减去奇数项之和的结果为（）2、已知等差数列an中，前5项和S5=15，前6项和S6=21，则前11项和S11=（）3、a1=2008，S2007/2007S2005
13、/2005=2，求S2008,1.在等差数列an中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（）（A）70（）35（）30（）12【解析】选S6 30,2.等差数列an的前项和为Sn，若a3a1710，则S19（）（）55（）95（）100（）不能确定【解析】选S19 95,检测题,3.已知数列an的通项an-n，则其前项和Sn_【解析】an+1-an-，an是等差数列a1-，-，Sn-（-）,4.等差数列an的前项和为Sn，若a2，a3，则S4_【解析】a2=1，a3，a1-，S4,5.已知an是等差数列,a1a3a5,a6,求此数列前项的和【解析】设公差为d,a1a3a59，a6，3a3=
14、9,a3=3，a6=a3+(6-3)d，d=2,解得a1=a6-5d=-1.S6=6(-1)+30=24.,解：,由7n100,得,即,所以 n 14.,所以集合中的元素为：,这个数列是等差数列,记为 an,a1=7,a14=98.,因此，,因为 n N*,第四课时类型一：已知Sn求an an=,【例1】已知数列an的前n项和为Sn，且当nN*时满足Sn=-3n2+6n，求数列an的通项公式an.,【规范解答】当n=1时，a1=S1=3,当n2时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-3(n-1)2+6(n-1)=9-6n，a1=3符合此式.an=9-6n(nN*).,【变式】若Sn=-3
15、n2+6n+1，求an？【解析】当n=1时，a1=S1=4.当n2时，an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1）-3（n-1）2+6(n-1)+1=9-6n,a1=4不符合此式.故an=,类型二：求数列an的前n项和(1)a10,d0,Sn有最小值,【例2】已知等差数列an中，S2=16，S4=24，求数列an的前n项和An.【分析】先去绝对值号如何判断出an的正负？得先求出an方案：1、先求an,2、判断an的正负，3、分段求和,【规范解答】设等差数列an的首项为a1，公差为d,由已知列方程组解得a1=9，d=-2，an=11-2n.令an5.5.设Sn表示数列an的前n项和，当n5时，a
16、n0，An=Sn=a1+a2+an=-n2+10n；,当n6时，an0，An=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|+|an|=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-an=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+an)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+an)=2S5-Sn=2(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50An=,小结：1、先求an,2、判断an的正负，3、分段求和,【变式训练】在等差数列an中,a1=-60,a17=-12,求数列|an|的前n项和.【解析】设数列an的公差为d，则d
17、=3,an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)3=3n-63.由an0,得3n-630，即n21.当n=21时，a21=0.数列an的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数.,设Sn,Sn分别表示数列an和|an|的前n项之和，当n20时，Sn=|a1|+|a2|+|an|=-a1-a2-an=-Sn=-60n+3=,当n20时，Sn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+3-2(-6020+3),数列|an|的前n项和 Sn=,【例3】(12分)有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前n项和Sn和T
18、n的比值，欲求 的值，可充分利用等差数列前n项和公式及等差中项的关系转化为 的关系.,【规范解答】方法一：3分 6分 9分 12分,方法二：因为 3分所以设Sn=(7n+2)kn，Tn=(n+3)kn,k0,6分a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k,9分 12分,【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【训练】有两个等差数列an，bn，其前n项和分别为Sn和Tn，若 求【解析】由等差数列的性质得,1.设数列an的前n项和Sn=n2，则a8的值为()(A)15(B)16(C)49(D)64,2.已知数列an 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于(A)33(
19、B)34(C)35(D)36,当堂检测,3.数列an为等差数列，an=11,d=2,Sn=35,则a1等于()(A)5或7(B)3或5(C)7或-1(D)3或-1,4.设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_.,5.两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn，Tn，若 求 的值.,3.数列an为等差数列，an=11,d=2,Sn=35,则a1等于()(A)5或7(B)3或5(C)7或-1(D)3或-1【解析】选D.由已知得 从而a1=3或a1=-1.,4.设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_.【解析】S5=15.,1.设数列an的前n项和Sn=n2，则a
20、8的值为()(A)15(B)16(C)49(D)64【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.,2.已知数列an 为等差数列，a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于(A)33(B)34(C)35(D)36【解析】选D.Sn=na1+=0,35n-n(n-1)=0,得n=36.,当堂检测,3.数列an为等差数列，an=11,d=2,Sn=35,则a1等于()(A)5或7(B)3或5(C)7或-1(D)3或-1【解析】选D.由已知得 从而a1=3或a1=-1.,4.设等差数列an的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_.【解析】S5=15.,5.两个等差数列an和bn的前n项和分别是
21、Sn，Tn，若 求 的值.【解析】方法一：方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn，Tn=(3n-1)kn，k0,a9=S9-S8=37k.b9=T9-T8=50k.,类型四：等差数列在实际问题中的应用 分析：利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略.利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此类有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出实际答案，一般可从以下几步考虑：,【例4】从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第二天售出25件，第三天售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12日日销售量达到最大，
22、然后，每天售出的件数分别递减10件.(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为n,1n30,求an与n的关系；,(2)求4月份该款服装的总销售量；(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则此服装在社会上不再流行.试问：该款服装在社会上流行的时间是否超过10天？说明理由.,【审题指导】由题意分析可知，求总销售量问题可转化为等差数列求和问题，总体解题思路可归结为以下形式：,【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列an.由题意知，数列a1,a2,a12是首项为10，公差为15的等差数列，a
23、n=15n-5(1n12且nN*).而a13,a14,a15，,a30是首项为a13=a12-10=165,公差为-10的等差数列，an=165+(n-13)(-10)=-10n+295(13n30且nN*).an=,(2)4月份该款服装的总销售量为+18a13+=2 550(件).(3)4月1日至4月12日的销售总量为=1 110 第20天该款服装在社会上不再流行.该款服装在社会上流行没有超过10天.,【变式】一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h开始，每隔2 s速度提高20 km/h，如果测试时间是30 s，测试距离是多长？【解析】由于每隔2 s速度提高20 km/h，所以该赛车在每个2 s内的速度构成等差数列an且a1=10,d=20.,如果测试时间是30 s，则最后一个2 s内的速度是a15，测试距离S=(a1+a2+a15)=(1510+20)=1.25(km).答：若测试时间是30 s，则测试距离为1.25 km.,
