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1、第四章 非线性回归模型的线性化,4.1变量间的非线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生产函数:就是一例。,11/6/2023,中山学院经济与管理系,1,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。,11/6/2023,中山学院经济与管理系,2,3,线性模型的含义 线性模型的基本形式是:其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中
2、，而不是以 或 之类的函数形式出现在模型中。,11/6/2023,中山学院经济与管理系,4,（2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。,非线性回归模型的分类：1 虽然被解释变量Y与解释变量 之间不存在线性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型。其一般形式为：其中 是关于 的p个已知的非线性函数，是（p+1）个未知参数,11/6/2023,中山学院经济与管理系,5,2 虽然被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型 3 如果被解
3、释变量Y与解释变量 和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,6,4.2线性化方法,1非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法 非标准线性回归模型的一般形式为：,11/6/2023,中山学院经济与管理系,7,令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,8,下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非标准线性回归模型1多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的
4、线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,9,2 双曲函数模型双曲函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,10,3 对数函数模型对数函数模型的一般形式为：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,11,4 S-型曲线模型S-性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：令则可将原模型化为标准的线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,12,2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型（1）指数函数模型指数函数模型
5、的一般形式为对上式两边取对数得到令则可将原模型化为标准的线性回归模型；,11/6/2023,中山学院经济与管理系,13,（2）幂函数模型幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：令则可将原模型化为标准的线性回归模型：,11/6/2023,中山学院经济与管理系,14,例：对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、和 为未知参数。试利用天津市1980年1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。,11/6/2023,中山学院经济与管理系,15,首先建立天津市的C-D生产函数模型 i=1，2，17两边取对数得到：令则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,11/6/2023,中山学院经济与管理系,16,得到估计的回归方程为（括号内的数字为t统计量值）（-8.1304）（34.7271）（6.1513）最后得到估计的C-D生产函数方程为：,11/6/2023,中山学院经济与管理系,17,
