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1、,函数项级数,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、内容总结,2、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求部分和式极限,3、幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法,直接展开法,间接展开法,利
2、用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,（1）.函数的幂级数展开法,（2）.函数的傅里叶级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,二、作业讲析 略,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,例1.求下列级数的敛散区间:,三、典型例题讲解,因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,例2.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,例3.求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,例4.求下列幂级数的和函数：
3、,级数发散,(2),显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,解:原式=,的和.,例5.求级数,例6.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,例7.设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,上的表达式为,将其展为傅氏级数.,例8.设 f(x)是周期为2的函数,它在,解答提示,思考:如何利用本题结果求级数,根据傅氏级数收敛定理,当 x=0 时,有,提示:,四、练习题,1、选择题,2.求下列级数的收敛域.,3.求下列幂级数的和函数.,4.把下列函数展成关于 x 的幂级数.,5.把下列函数在指定点处展成的幂级数.,答案：,1.选择题：A B,
