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1、,二、无界函数反常积分的审敛法,第二节,反常积分,无穷限的反常积分,无界函数的反常积分,一、无界函数的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无界函数的反常积分,第六章,一、无界函数的反常积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.1 设,而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,类似地,若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,若被积
2、函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称,邻域内无界,为瑕点(奇点).,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意:若瑕点,的计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为瑕点,则,若 a 为瑕点,则,若 a,b 都为瑕点,则,则,可相消吗?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.计算反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,下述解法是否正确:,积分收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.讨论反常积分,的敛散性.,解:,所以反常积分,发散.,例3.证
3、明反常积分,证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1,时发散.,当 q1 时,所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 q 1 时,该广义积分发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,解：,求,的无穷间断点,故 I 为反常,积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分.,二、无界函数反常积分的审敛法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由定义,例如,因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数,的反常积分中来.,定理2.1比较审敛法及其极限形式P281,定理1.(柯西审敛法),定理3 目录 上页 下页 返回 结束,瑕点,有,有,利
4、用,有类似的审敛法.,使对一切充分接近 a 的 x(x a).,定理2.(极限审敛法),定理4 目录 上页 下页 返回 结束,则有:,1)当,2)当,例5.判别反常积分,解:,利用洛必达法则得,根据极限审敛法2,所给积分发散.,例5.判定椭圆积分,定理4 目录 上页 下页 返回 结束,散性.,解:,由于,的敛,根据极限审敛法,椭圆积分收敛.,类似的,有下列结论:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为绝对收敛.,则反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6,解,根据比较审敛原理,的敛散性。,内容小结,1.两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法.,2.若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,可通过分项,使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛.,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,思考,1.积分 的瑕点是哪几点？,2.判别积分 的敛散性。,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,思考题1 解答,积分 可能的瑕点是,不是瑕点,的瑕点是,作业P285 A类:4(1,3,5);5(3);B类:1(3);3P287 8,
