高等代数第一章.ppt

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1、,作业：P7 3-7.,谢谢！,一、映射的概念及例,定义1 设A，B 是两个非空的集合，A到B 的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的每一个元素 x，有集合B中一个唯一确定的元素 y 与它对应.,用字母f，g，表示映射.用记号 表示f 是A到B的一个映射.,如果通过映射f，与A中元素x对应的B中元素是y，那么就写作,这时y 叫做 x 在f 之下的象，记作.,1.2 映 射,注意:A与B可以是相同的集合，也可以是不同的集合 对于A的每一个元素x，需要B中一个唯一确定的元素与它对应.一般说来，B中的元素不一定都是A中元素的象.A中不相同的元素的象可能相同.,二、映射的相等及像,

2、设 是一个映射.对于，x的象.一切这样的象作成B的一个子集，用 表示：，叫做A在f 之下的象，或者叫做映射f 的象.,设，都是A到B的映射，如果对于每一 x，都有，那么就说映射f与g是相等的.记作,设 是A到B 的一个映射，是B 到C 的一个映射.那么对于每一个，是C中的一个元素.因此，对于每一，就有C 中唯一的确定的元素 与它对应，这样就得到A到C 的一个映射，这映射是由 和 所决定的，称为 f 与g 的合成（乘积），记作.于是有,对于一切,f 与g 的合成可以用下面的图示意：,A,B,C,三、映射的合成,设给映射，有.,但是，一般情况下,设A是非空集合,，称为A上的 恒等映射。,四 单射、

3、满射、双射,定义2 设f 是A到B的一个映射，如果,那么说称f 是A到B上的一个映射，这时也称f 是一个满映射，简称满射.,是满射必要且只要对于B中的每一元素y，都有A中元素x 使得.,关于映射，只要求对于A中的每一个元素x，有B中的一个唯一确定的元素y与它对应，但是A中不同的元素可以有相同的象.,定义3 设 是一个映射，如果对于A中任意两个元素 和，只要，就有，那么就称f 是A到B 的一个单映射，简称单射.,定义3：如果f 既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件:,对于一切，那么就称f 是A 到B 的一个双射或一一映射。,f 是一个双射；存在B到A的一个映射g，使得，再者，当条件成立

4、时，映射g是由f 唯一确 定的.,一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换.,作业：P14 3，4，9，10.,谢谢！,1.3 数学归纳法,内容分布 最小数原理 数学归纳法的依据 教学目的 掌握最小数原理，并能熟练应用数学归纳法。重点、难点 最小数原理的理解，数学归纳法原理的证明。,一、最小数原理,数学归纳法的理论依据最小数原理（正整数的一个最基本的性质）.,1 最小数原理并不是对于任意数集都成立的,2 设c是任意一个整数，令,注意,那么其代替正整数集，最小数原理对于 仍然成立.也就是说，的任意 一个非空子集必含有一个最小数，特别，N 的任意一个非空了集必含有一个最小数.,二、数学归纳法原理

5、,定理（数学归纳法原理）设有一个与正整数n 有关的命题.如果 当n=1 时.命题成立；假设当n=k 时命题成立，当n=k+1 时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n 都成立.,定理（第二数学归纳法）设有一个与正整数n有关的命题.如果 当n=1时命题成立；假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切自然数n来说都成立.,作业：P17 1，2，3.,谢谢！,1.4 整数的一些整除性质,一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。2.掌握最大公因数性质、求法。3.理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点

6、整除、最大公因数性质、互素有关的证明。,一、整除与带余除法,设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a|b表示a整除b。这时a 叫作b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作.,定理1.4.1（带余除法）设a，b 是整数且，那么存在一对整数q和r，使得,满足以上条件整数q和r 的唯一确定的。,所以。这是与r 是S 中最小数的事实矛盾。因此.,假设还，使得,由此或者，或者。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须，从而，也就是说,二、最大公因数,设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫作a与b的最大公因数：,定

7、理1.4.2 任意 个整数 都有最大公因数。如果d是 的一个最大公因数，那么-d 也是一个最大公因数；的两个最大公因数至多只相差一个符号。,现证，任意n个整数 有最大公因数。如果果，那么0显然就是 的最大公因数。,I 显然不是空集，因为对于每一个i,证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。,设 不全为零，考虑Z 的子集,又因为 不全为零，所以I 含有非零整数。因此,是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，有一个最小数d.下证明，d 就是 的一个最大公因数。,首先，因为，所以d 0并且d 有形式,又由带余除法，有,如果某一，如，那么,而。这与d是 中的最小数的事实矛盾。

8、这样，必须所有，即。,另一方面，如果。那么。这就证明了d 是 的一个最大公因数。,定理1.4.3 设d是 的一个最大公因数。那么存在整数，使得。,三、互素的定义及其性质,设a,b是两个整数，如果（a,b）=1，那么就说a与b互素。一般地，是n个整数，如果，那么就说这n 个整数 互素。,（1）,定理1.4.4 n 个整数 互素的充分且必要条件是存在整数，使得,证 如果 互素，那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令 那么c 能整除（1）式中的左端。所以c|1，因此c=1,即。,四、素数的定义及其简单性质,定义 一个正整数p1叫作一个素数，如果除1和p 外，没有其它

9、因数。,四、素数的定义及其简单性质,定理 一个素数如果整除两个整数a 与b的乘积，那么它至少整除a 与b中的一个。,证 设p是一个素数，如果p|ab，但，由上面所指出的素数的性质，必定有（p,a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s 和t 使得 sp+ta=1 两边同乘以b：spb+tab=b.左边的第一项自然能被p整除；又因为p|ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而p|b.,作业：P23 1，2，4，5.,谢谢！,1.5 数环和数域,定义1：设S是复数集C 的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a,b 来说，a+b,a b,ab 都在S内，那么就称S是一个数环。,

10、例1 取定一个整数a，令 那么S是一个数环。,如取a=2，那么S 就是全体偶数所组成的数环。,一、数环和数域的定义,证明：S显然不是空集。设，那么,所以S是一个数环。,定义2 设F 是一个数环，如果,F 含有一个不等于零的数；,如果，,那么就称F 是一个数域。,例2 令.证明S是数环,证明：S显然不是空集，设，那么,所以S是一个数环。,例3 令，则F是一个数域。,这就证明了F 是一个数域。,证明：易知F是一个数环，并且，所以成立。,现设，,那么，,否则当d=0 时，,c=0，这与 矛盾；,当 的时，,矛盾。因此,二、数环与数域的性质,1.任何数环都含有数零；2.任何数域都含有数零和数1；3.两个数环的交还是数环；4.两个数域的交还是数域；,4.定理1.5.1 任何数域都包含有理数域Q。,证 设F 是一个数域。那么由条件，F 含有一个不等于0的数a，再由条件，。用1 和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面，所以F 也含有0与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为F 含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，F 含有一切有理数。,作业：P25 1，3，4，5.,谢谢！,