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1、1,高 等 几 何,2,课 程 概 论,高等几何是师范类数学专业重要的基础课之一，它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本书的主要内容是介绍射影几何学，但为了比较起见，也引进了仿射几何学与欧氏几何学。射影几何学范围大，可以包含许多其他的几何学，例如欧氏几何学、非欧氏几何学、仿射几何学等。,3,课 程 概 论,射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时，他用他的眼睛当做是投影中心，把实像投影到布幕上去。他的眼睛
2、好比灯光，把实像的影子映射到布幕上去，然后再描绘出来。在建筑上我们需要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就是实物的平面投影。（透视图）这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影几何学。在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课-画法几何学。,4,课 程 概 论,一、高等几何的内容,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,5,欧氏几何(初等几何),研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数量(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等),搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果,欧氏几何,研究图形在正交变换下不变性质的科学,6,仿射几何,平行射影,仿射变
3、换,仿射几何,研究图形在仿射变换下不变性质的科学,透视仿射对应,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如平行性、两平行线段的比等等,7,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形在射影变换下不变性质的科学,透视对应,有限次中心射影的结果,射影不变性,比如几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,8,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,综合法,给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容,解析法,数形结合，利用代数、分析的方法研究问题,本课程,兼用综合法与解析法,9,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的
4、与方法,三、开课目的,学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。,训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。,新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。,10,主 要 内 容,第二章：射影平面包括：中心射影，齐次坐标，对偶原理，复元素第三章：射影变换与射影坐标包括：交比，调和共轭，透视对应，一维射影变换，二维射影变换、射影坐标第四章：变换群与几何学克莱因（F.Klein)的变换群观点第五章：二次曲线的射影理论包括：二次曲线的射影定义，帕斯卡和布利安桑定理，极点，极线，配极原则，二次曲线的射影分类,第六章：二次曲线的
5、仿射性质和度量性质包括：二次曲线的中心，直径，共轭直径，渐近线，二次曲线的仿射分类，主轴，焦点，准线，二次曲线的度量分类，,第一章：仿射坐标与仿射变换包括：透视仿射对应，仿射对应，仿射变换和性质，仿射坐标,11,第一章：仿射坐标与仿射变换,定义：设A,B,C为共线三点，这三点的单比（ABC）定义为以下有向线段的比：,1透视仿射对应一.单比,当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0,称A、B为基点，C为分点,当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，,(ABC)0,当点 C 与点A重合时，,(ABC)=0,当点 C 与点B重合时，,(ABC)不存在,当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)
6、=-1,注：与定比分点中定比（分割比）相差一个符号。,12,二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换,1.两直线间的透视仿射对应,若直线,且,，,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线 的平行线交 于,，则可得直线,到直线,的一个映射。,称为透视仿射对应，记为 T,13,原象点：A,B,C,D 直线a上的点,平行射影的方向：直线,透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射对应,O,点 O 为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点),14,2.两直线间的仿射对应,仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链,表示透视仿射链，T表示仿射对应（如图）,15,如图所示：,第一章、仿射坐标与
7、仿射变换,16,注：,（1）.仿射对应是有限次的透视仿射对应组成的,（2）.判断仿射对应是否是透视仿射对应的方法：对应点的连线是否平行,（3）.书写的顺序与透视仿射对应的顺序是相反的,二.两平面的透视仿射对应、仿射对应与仿射变换：,1.透视仿射对应：,如图,点A,B,C共线a，则 共线,g,A,B,C,a,l,两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴,3.两直线间的仿射变换 与 重合的仿射对应称为仿射变换。,17,如图,第一章、仿射坐标与仿射变换,18,平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的积组成的，是透视仿射对应链。,三.透视仿射对应、仿射对应与仿射变换性质：,1.保持同素性.（几何元素
8、保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.,2.保持点与直线的结合性,2仿射对应：,3.保持单比不变（ABC)=(ABC),4.保持平行 ab 则ab,3.平面上的仿射变换 与 重合的仿射对应称为仿射变换。,但不保距离，不保角度！,19,例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心；三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形）例2 仿射变换下，正方形有哪些性质不变？其仿射象是什么图形？例3“三角形重心”与“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？（仿射像是另一三角形重心和两相交直线）。,20,3.1仿射坐标系,设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单
9、位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，,仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为,X轴上的单位点 的映象 的坐标为,y轴上的单位点 的映象 的坐标为,设 为P在坐标轴上 的正射影，且，则T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形 及.由于T保留单比.则,3仿射坐标,一、建立仿射坐标系,21,x,y,O,P(x,y),22,平面上一定点 O 及二不共线向量 e1、e2 构成一个仿射标架，记为 O；e1，e2任意点 M 的向径的分解式为：,则有序数对(x,y)称为点M关于标架 的仿射坐标,23,显然，原点 O 的坐标是(0,0)；x 轴上的单位点为Ex(1,0)；y 轴上的单位点
10、为Ey(0,1)称标架 O；e1，e2为仿射坐标系，O 称为坐标原点，e1 和 e2 称为基本向量,二、定理3.1 设在给定仿射坐标系下，A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，则,证明：（ABC）=(AxBxCx),24,三、定理3.2 设在给定仿射坐标系下，过P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程为,证明：,即,即,25,推论：P1,P2,P3共线的充要条件是,直线的一般方程仍为：,26,一、定理3.3 平面上的仿射变换式为：,3.2 仿射变换的代数表示,证明：,如图，设,27,故得仿射变换的表达式为：,因为保单比，所以P在新坐标系下坐标为（x,y),即,28,其矩
11、阵形式为：,确定一个仿射变换的几何条件为：不共线的三对对应点。,注：逆变换式为,有6个独立参数,29,用代数法可证：（1）共线点对应共线点；（2）保单比。于是得仿射变换的几何定义：平面内点之间的一一满足：（1）共线点对应共线点；（2）保单比。则称为平面内的仿射变换仿射变换的代数定义3.2：平面内点之间的一个线性变换：,称为仿射变换,30,例1,求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。,将点,解:,分别代入仿射变换的代数表示式得:,31,仿射变换式为:,例2,求仿射变换 的不变直线。,解:,设所求的不变直线为:ax+by+c=0,与直线
12、ax+by+c=0是同一条直线，所以对应系数成比例。,32,因为与,矛盾,不变直线为,当,时，方程组有非零解,33,求使直线x=0,y=0,x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0,的仿射变换.,练习:,解:,设所求的仿射变换为,则有:,34,由以上(1),(2),(3)联立解得,35,3.3几种特殊的仿射变换:,一、正交变换,即,即A为正交阵,即,也可写为,第一种正交变换,第二种正交变换,36,二、位似变换,k为位似比,几何定义：变换f满足（1）任意对应点连线PP过定点S（2）（PPS)=k,37,三、相似变换,1.几何定义：f满足,（相似比）,2.变换式,异向相
13、似变换,同向相似变换,也可写为,有4个独立参数a,b,c1,c2,38,四、压缩变换,例,将圆压缩为椭圆，所以圆的仿射图形为椭圆。,39,2仿射性质,定义4.1,仿射不变性与不变量：图形经过任何仿射变换后都不变的性质（数量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。,定理4.1：,两直线间的平行性是仿射不变性。,推论1,两相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线。,.（反证法）假设,由结合性,与,矛盾,推论2,共点直线经仿射变换后仍变成共点直线。,40,定理4.2：,两平行线段之比是仿射不变量.,要证:,A,B,C,D,E,如图,作DE AC,=,=,单比是仿射不变量,推论,一直线上两线段之比是仿射不变量
14、.,41,任意两个三角形面积之比是仿射不变量.,证明：在笛卡尔坐标系下，已知不共线的三点,经过仿射变换后，对应点,注：（x,y)是第一个笛卡尔坐标系下的坐标，所以三角形的面积公式可以用,定理4.3,为常数,42,推论1,在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量。,推论2,在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量。,仿射不变性,平行性,单比,平行线段的比,两三角形面积之比(是仿射不变量)线段的中点,三角形的重心,梯形,平行四边形（是仿射不变图形）,43,例.求椭圆面积。,解：,O,A,B,B,44,例.用仿射变换证明任意三角形三条中线所分成的六个三角形的面积相等。
15、证明：任意一个三角形总存在一个仿射变换，将其变为等边三角形，等边三角形中三条中线所分成的六个三角形的面积显然相等，再由两个三角形面积之比是仿射不变量，得此命题对于任意三角形也成立。,45,例.在等腰梯形中，上下底的中点、两腰所在直线的交点、对角线交点这四点显然共线。试进行一仿射变换，能得出什么命题？命题：梯形中，上下底的中点、两腰所在直线的交点、对角线交点这四点共线。,46,例子：求仿射变换对应图形,1.二全等三角形的对应图形是二等面积三角形。2.圆的对应图形是椭圆。3.两个全等矩形对应图形是等积平行四边形。4.三角形的重心变为三角形的重心。5.相似三角形变为面积比相同但是不必相似的三角形。6.三角形的内心变为三角形内普通一点。,
