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1、1,第三章 拉普拉斯变换,3.1 引言,3.2 拉普拉斯变换,3.3 拉普拉斯变换的收敛域,3.4 常用函数的拉普拉斯变换,3.5 拉普拉斯反变换,3.6 拉普拉斯变换的基本性质,小 结,2,3.1 引言,傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有不足之处。,1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。,2、有些重要函数如eat(a0)的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处理。,而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。,3,拉氏变换与傅氏变换的关系：,1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项虚指数信号ejt之和。,2、拉普
2、拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项复指数信号est之和。其中s=+j s称为复频率,3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广,返回,4,3.2 拉普拉斯变换,一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换,1、傅立叶变换定义,当函数f(t)满足狄里赫利条件时,5,2、当函数不满足绝对可积条件时,F,因为上式中t为积分变量,故积分结果必为s的函数,将f(t)乘以衰减因子e-t(为 一实常数)，恰当地选取 的值 就有可以使f(t)e-t 变得绝对可积，即,6,令s=+j，,因为常数，所以d=1/j ds，且当时，s j 进行积分换元,用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换,两边同乘et,(1)式和(2)式为双边拉
3、普拉斯变换对,7,二、拉普拉斯变换定义,1、双边拉普拉斯变换,s称复频率，Fb(s)称信号的复频谱,8,2、单边拉普拉斯变换,f(t)为有始函数，即t0时，f(t)=0,本课程主要所讨论单边拉普拉斯变换,记作：,9,3、复平面(s平面),当s=+j确定时，指数函数 est 也确定了,反映指数函数est的幅度变化速度,0,幅度发散,0,幅度收敛,反映指数函数est的因子ejt作周期变化的频率,返回,以复频率s=+j的实部 和虚部 j 为相互垂直的坐标轴而构成的平面.,右半开平面,左半开平面,10,3.3 拉普拉斯变换的收敛域(ROC),1、定义：把使f(t)e-t 满足绝对可积条件的的取值范围称
4、为拉氏变换的收敛域。,2、单变拉氏变换的收敛条件,若f(t)为有始函数，且存在下列关系,则收敛条件为,称为收敛坐标,11,3、指数阶函数,凡是满足,的函数称为指数阶函数,几个简单的函数,1.时限信号,12,2.单位阶跃信号u(t),对于0的任何值，都有,所以其收敛域为s平面的右半面,3.线性增长信号 tn,对于0的任何值，都有,所以其收敛域为s平面的右半面,13,4.指数函数,返回,只有当 时，才有,所以其收敛域为s平面上 的部分.,14,3.4 常用函数的拉普拉斯变换,设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换,1、单位阶跃信号u(t),L,即,L,2、指数函数,15,3、tn n为正整数,L
5、,16,4、正弦函数,则,17,即,同理,18,5、冲激函数(t),即,同理,返回,19,3.5 拉普拉斯反变换,利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函数F(s)求出原函数f(t)。,一、部分分式法,其中，ai,bj均为实数，m，n为正整数,部分分式法的实质：将F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换。,20,一、当mn时,设N(s)比D(s)高r阶 将F(s)化为s的多项式与真分式之和,则其拉氏反变换为：,21,二、F(s)为真分式的情况,1、D(s)=0 的根为单实根,将上式展开为 n个简单分式之和，即,其中，ki为待定系数,22,1.为了确定ki，在方程两端同时乘以因子(s
6、-pi)，再令s=pi，则,或用罗比塔法则导出另一公式：,23,当s=pi时，(s-pi)和D(s)均为零，所以 由罗比塔法则可以求得,24,确定了ki 之后，求出各简单分式对应的时间函数，迭加后即为f(t),25,解：,有两个互异实根,将F(s)展开为部分分式：,26,即,所以：,27,、D(s)=0 的根为重实根的情况,设p1为r重实根,式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同,28,含有重极点因子的部分分式系数求法如下：,29,30,、D(s)=0 的根为共轭复根的情况,因为D(s)的系数均为实数，所以有复根出现时，必为成对的共轭复根。,设,则,31,（）用上面所讲方法进行部分分式
7、展开,这种方法要进行复数运算，比较麻烦,（）配方法,32,已知正弦函数,余弦：,所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方法写成如下形式：,或,33,例：,极点为,返回,34,3.6 拉普拉斯变换的基本性质,1、线性性质,若,则,2、时间平移,若,则,35,例：周期函数f(t)，周期为T，若f1(t)表示从t=0开始 的第一个周期的波形，且f1(t)的拉氏变换为F1(s)，求f(t)的拉氏变换,解：,且,36,3、s域平移,若,则,4、尺度变换,若,则,37,5、时域微分,若,则,38,当f(t)为有始函数时，f(0-),f(0-),f(n-1)(0-)均为0，此时,39,6、时域积分,若,则,
8、40,7、s域微分特性,若,则,8、s域积分特性,若,则,41,9、初值定理,若函数f(t)及其导数f(t)存在拉氏变换，则f(t)的初值为：,10、终值定理,若函数f(t)及其导数f(t)存在拉氏变换，且sF(s)的所有极点都位于s平面的左半平面，则f(t)的终值为：,42,频域卷积,若,则,若,则,时域卷积,11、卷积定理,返回,43,第三章小 结,拉氏变换与傅氏变换是傅氏变换的推广。,拉氏变换是研究连续线性非时变系统强有力的工具。,作业：3-1（7，9）、3-2（7，11）3-3（2）3-5（1，2）、3-7（6，8）、3-8（1，2）3-9（1，3）,返回,44,课堂练习：求如图所示 f(t)的拉氏变换,45,证明：,令,则,2、时间平移,返回,46,证明：,分部积分：,6、时域积分,返回,
