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1、多分辨率分析与正交离散小波变换,北京科技大学,阳建宏,2022/12/17,连续小波与离散小波多分辨率分析与离散正交小波,主要内容,连续小波变换(CWT)：尺度a及时间的取值连续变化计算量很大,连续小波变换的不足,小波母函数光滑性好对称性好紧支性好,连续小波,离散小波,二进小波,只对尺度离散位移仍然连续,尺度和位移都离散,非正交离散小波,正交离散小波,小波基函数非正交,小波基函数正交,离散小波变换,计算量相对非正交小波更小小波变换系数无冗余,框架设H为希尔伯特空间， 为H中的一个函数序列，若对于任意 ，存在 ，使得下述不等式成立： 则称 为一个框架，A、B分别为框架的上下界紧框架,若 ，则称此
2、框架为一紧框架， 若 ，并且 ，则此时 构成一组正交基,框架与信号的分解、重构密切相关,可以简单理解为：一组基，正交的或非正交的,紧框架 非正交,紧框架 正交,小波的数学基础-框架,将“框架”具体应用到小波领域构成“小波框架”,基本小波 经伸缩和平移引出的函数族，满足 ，则称 为小波框架,小波进行重构的基本条件,小波的数学基础-框架,离散小波变换的逆变换,连续小波变换的逆变换,不是所有的小波基函数经任意的离散方式后都能保证可以由小波变换系数重构回原函数逆变换的条件,当小波基函数满足此不等式时，小波系数可重构回原函数，此时称 为小波框架,只要满足“可容许条件”，即可进行逆变换,满足了框架条件必然
3、满足了可容许条件,信号的重构-如何进行离散小波逆变换？,若离散小波序列 构成一个框架，其上、下界分别为A和B，则当A=B时(紧框架)，由框架概念可知离散小波变换的逆变换为当AB，而A、B比较接近时，重建公式近似为,A与B愈接近，重建误差就愈小,信号的重构-如何进行离散小波逆变换？,用基底表示函数的展开 回顾三维矢量空间R3中，任何一个非零矢量M可表示为将此概念推广到泛函分析中,框架、Riesz基、正交基,如果基底满足 此时基底为标准（规范）正交基 ，此时有： 这时才有Parseval等式,不为正交基，不相等，其它关系？,框架、Riesz基、正交基,框架、紧框架 A、B为正常数，称 为H中的一个
4、框架 若A=B，称为紧框架，此时，转换前后能量固定为一放大倍数 若A=B=1，则为正交基，即为Parseval等式无冗余框架 H中的框架，如果去掉其中任一元素不再构成框架，则为无冗余框架，即为Riesz基 正交基虽然优越，但有时难以得到，且对误差敏感，现实中常用Riesz基，例如二维平面中任意不平行的二个向量构成Riesz基，垂直则为正交基,框架、Riesz基、正交基,定义 令H是Hilbert空间，H中的一个序列gjjZ是Riesz基，如果它满足以下的条件：,规范正交基是A=B=1的Riesz基 对于Riesz基，计算是数值稳定的 Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基,Riesz基,框架
5、、 Riesz基、正交基三者的关系,框架、Riesz基、正交基,需要说明的几个问题 1、 2、n维欧氏空间中任何n个线性无关的向量都可以成为一组基，也可转化为标准正交基3、在H中， Riesz基就相当于基4、无冗余的紧框架一定为正交基,不为框架不能表示，如平面中的一个向量不是框架,框架、Riesz基、正交基,小波框架 小波母函数，经过平移和伸缩后构成一系列小波函数，实际中都要将平移和伸缩因子离散化。 显然，当离散相差很近时，分解存在极大冗余（但带来的好处是显微镜特点和相似性检测能力 ），此时就不再属于传统的正交分解，而涉及到框架。定量描述上述冗余性和相关性再生核（重建核）,小波分析中的框架,小
6、波变换前后能量变化（稳定性 ）尺度和位移离散化后，若使则此时构成小波框架，这是稳定性前提。若前后能量相等，即A=B=1,则为标准离散正交小波基 A、B相差很大，则为非紧框架，反变换不能直接应用 A、B比较接近，则为几乎紧框架，实际中常用,平面空间中的三个互成120度的基构成二维空间中的紧框架,证明,小波分析中的框架,对平面中的任意向量 都有： 即A=B=3/2,x,y,小波分析中的框架,多分辨率分析方法(MRA)可以构造出正交的小波母函数在MRA出现之前人们已经构造出了几种正交小波,CWT,DWT,尺度位移离散化,冗余,m,n构成一个框架,m,n构成一个正交基,non-orthogonalDW
7、T,orthogonalDWT,冗余,无冗余,小波变换,Haar小波构成了L2(R)上的完备正交基时域上不连续频域上局部性差常应用于理论研究中,Haar小波,Littlewood小波构成了L2 (R)上的完备正交基时域上局部性差频域上局部性好,Littlewood-Paley,能否构造一个时、频域都具有好的局部性的小波基？ Meyer小波,Meyer小波,在多分辨率理论出现以前，还构造出了其他的正交小波Strombery小波Battle-Lemarie小波1986年秋，Mallat和Meyer提出了MRA框架统一了在此之前的小波构造提供了构造新的小波基方便的工具,Battle-Lemarie,
8、其他正交小波,连续小波离散小波的关键问题：离散的方式尺度因子、平移因子离散后构成框架、Reisz基或正交基信号的重构母小波的构造,小结,连续小波与离散小波多分辨率分析与离散正交小波,主要内容,把尺度理解为照相机的镜头，当尺度由小到大变化时，相当于将镜头由近及远地远离目标。在小尺度空间里，可观测到目标的细微部分；在大尺度空间里，可观测到目标大致的概貌。,多分辨率分析是指满足下述性质的一系列闭子空间一致单调性渐近完全性伸缩规则性平移不变性正交基存在性 V0 使得(tn):nZ是V0的正交基。,可放宽为Reisz基，因为由Reisz基可构造出一组正交基来,多分辨率分析的定义,V3,V2,V1,V0,
9、V1,V2,V3,一致单调性,不同尺度的分辨率,渐进完全性与伸缩规则性,如果g(t-k)kZ是V0的Riesz基，可通过正交化得到V0空间的函数(t)V0，使得(t-k)kZ 构成V0空间的规范正交基。由伸缩性和平移不变性可知， j,k(t)j,kZ构成Vj空间的一个规范正交基多分辨率分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下张成的，也即一个多分辨率分析VjjZ对应一个尺度函数由于空间VjjZ相互包含，不具有正交性，因此他们的基在不同尺度间不具有正交性，也即 j,k(t)j,kZ不能作为L2(R)空间的正交基,尺度函数,尺度函数,为了寻找一组L2(R)空间的正交基，我们定义VjjZ的补空
10、间如下：,小波空间,V2,V1,V0,小波空间,小波空间,尺度函数小波函数,函数,向尺度空间,投影,函数,向小波空间,投影,离散正交小波变换与多分辨率分析的思想是一致的,信号的多分辨率分析,V0,一个MRA的例子,V0,一个MRA的例子,V0,W1,一个MRA的例子,V0,W1,一个MRA的例子,V0,W1,W2,一个MRA的例子,与尺度函数的产生一样，若存在(t)W0，使得(t-k)kZ构成空间W0的一个规范正交基，则,构成L2(R)空间的一个规范正交基。 称为小波基，(t)称为母小波。,MRA非常抽象，但是它给出了构造小波的一般框架。在实践中很难通过小波空间直接构造小波，但通过MRA可推导
11、出一个非常重要的关系：双尺度方程，通过求解该方程，使我们有可能求出尺度函数和小波函数。,小波函数,由前面的分析，我们知道,双尺度方程,尺度函数,小波函数,双尺度关系存在于任意相邻两尺度之间展开系数不随尺度的变化而变化,双尺度方程,由(t) 的正交性可得：,对双尺度方程两边取傅立叶变换，可得频域上的双尺度方程：,双尺度方程,频域双尺度方程,双尺度方程,尺度函数(t)描述的是信号的近似部分，小波函数(t)描述的是信号的细节部分,频域双尺度方程,从信号处理的角度，h0是与(t)对应的低通滤波器，h1j是与(t)对应的高通滤波器h0，h1既可以表示为时域上的离散序列形式h0(k)，h1(k)kZ，也可
12、以表示为频域上的2周期函数H0 ()，H1()。两者本质上是一样的,滤波器系数,滤波器系数的性质,多分辨率分析(MRA)的概念由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2 (R)空间的标准正交基如何构造母小波呢？先构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列VjjZ，这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间在V0子空间找一个函数g(t)，其平移g(t-k)kZ构成V0子空间的Riesz基对函数g(t)进行正交化，得到函数称为正交尺度函数(t)由(t)计算出小波函数(t),多分辨率分析的基本思想,由正交尺度函数构造正交小波基的具体步骤,多分辨率分析的基本思想,二尺度方程描述了相邻二尺度空间基函数之间的
13、关系，进而可以推导出相邻二尺度间小波系数和尺度系数之间的关系离散小波变换的分解公式,尺度系数,小波系数,由j+1尺度的尺度系数可以很快计算出j尺度空间的尺度系数和小波系数cj,k,dj,k，即著名的Mallat算法（j尺度空间的系数无需从原始信号开始计算） 常用待分析信号作为初始的cj+1,k,系数分解的快速算法,对分解公式的证明,分解,重构,重构方程,小波分解和重构的示意图,利用Haar小波，进行小波分解，对应的滤波器系数,信号的小波分解实例,信号的近似部分（取平均）,信号的细节部分（取差值）,信号的细节部分和近似部分,f,a1,f,d1,近似系数,细节系数,小波分解,细节部分,近似部分,小
14、波分解,细节部分,近似部分,能量较小,小波分解,f,The detail,The scale-downversion,对近似信号进行同样的步骤,小波分解,f,16,12,6,2,小波分解,f,16,12,6,2,6,2,小波分解,f,近似部分,细节部分,信号的小波重构,f=a0,a1,d1,近似部分,细节部分,信号的小波重构,6,2,信号的小波重构,目的：在同等通信容量下，图像经压缩后再传递， 可以 增加通信能力，实现快速传输和存储,分类：根据解压缩后的数据与原始数据是否完全一 致来分类，有损压缩、无损压缩,离散小波逐层分解小波系数大于某一门槛值，视为重要系数利用重要系数进行重构，获得压缩图像
15、,原理：,小波的工程应用-图像压缩,压缩过程示意图,输入原始图像,压缩后的图像,小波的工程应用-图像压缩,目的：消除背景噪声，提取有用信息，凸显信号特征分类：小波模极大值去噪法基于小波系数尺度间相关性的去噪法 小波阈值去噪法原理(小波阈值去噪): 带噪信号进行小波变换； 在不同尺度上选取合适的阈值； 最后进行小波逆变换，得到去噪后的重构信号。,小波的工程应用-信号降噪,原始含噪信号,降噪处理后的信号,小波的工程应用-信号降噪,具体应用：语音增强实验参数： 原始语音样本：女声语音“大家好” 数据长度22050点，采样频率16kHz，以12bit进行量化 采用小波基sym8，分解层次5，信噪比SNR=8db,目的：提取轮廓特征，便于图像识别 原理：利用小波变换在某点的值随尺度参数变化的趋势确定该点的奇异性，即：当尺度参数趋于零时，奇异点对应的小波变换值是局部极大的对于图像，奇异点往往在图像的边缘利用图像在小波变换下不同尺度的模极大值信息来重构图像本身,小波的工程应用-边缘检测,小波用于奇异点检测,小波用于奇异点检测,小波用于奇异点检测,原始图像,提取的轮廓特征,小波的工程应用-边缘检测,小波包的工程应用-边缘检测,可以看出，图b比图a轮廓更完整。,图a,图b,小波包用于图像的边缘检测,小波包用于图像的边缘检测,
