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1、2023年1月15日10时10分,离散小波变换,主讲教师：王崇骏,主要内容,引言时频展开使用Matlab若干应用场景,引言,小波变换的动机福利叶变换是非常有效地计算工具但是是时间亚元变换，在很多场合不满足需求（石油勘探、乐谱分析）小波的含义“小”+“波”时频展开数学显微镜,时频展开,希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬时傅里叶变换，记为X(,F)如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函数，该基函数必须包括两个基本变量时间和频率F,时频展开主要内容,短时傅里叶变换STFTGabor变换GT连续小波变换CWT小波变换WT,短时傅里叶变换STFT,确定信号局部频率特性的比较简单的方法是在时刻附近
2、对信号加窗，然后计算傅里叶变换。X(,F)=STFTx(t)=FTx(t)w(t-)其中，w(t-)是一个以时刻为中心的窗函数，注意信号x(t)中的时间t和X(,F)中的。,窗函数w根据进行了时移，扩展傅里叶变换表达式,短时傅里叶变换操作示意,问题,实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反：给定一个信号，希望能够在时域和频域上定位信号发生的事件，因此时间和频率F都是不确定的，即按上述的分析不可行（结果不确定或有误差）分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)的时域宽度及傅里叶变换的频率带宽所决定的；信号不能同时在时域和频域准确定位,测不准定理,Gabor变换引言,STFT将一个连续时间变量t的信号
3、x(t)变换为有两个连续时间变量的X(,F)意味着STFT包含了很多的冗余信息将频率F离散化，F=Kf0将时间离散化，在=mT0采样,Gabor变换,通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：,Gabor变换公式：,2023年1月15日10时10分,小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是非常有用的。小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系数来刻画。,小波变换
4、,2023年1月15日10时10分,基本小波,也称为小波母函数定义如下：,紧支性:在有限区域内迅速衰减到0,容许性条件,2023年1月15日10时10分,小波的特点,具有有限的持续时间、突变的频率和振幅波形可以是不规则的，也可以是不对称的在整个时间范围里的幅度平均值为零比较正弦波,2023年1月15日10时10分,部分小波波形,2023年1月15日10时10分,小波基函数,将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换,2023年1月15日10时10分,小波基函数,将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换,2023年1月15日10时10分,缩放(scaled)的概念,示例：正弦波的Scale
5、d算法,2023年1月15日10时10分,示例：小波的缩放,2023年1月15日10时10分,平移(translation)的概念,2023年1月15日10时10分,小波分析 深圳大学信息工程学院,小波分析与付里叶变换的比较,2023年1月15日10时10分,小波分析,小波变换通过平移母小波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。连续小波变换离散小波变换,连续小波变换,where:a 缩放因子 时间平移注意：在CWT中，scale和po
6、sition是连续变化的,2023年1月15日10时10分,CWT的变换过程,把小波(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数c。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数 c 的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为(t-k)，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波(t-2k)，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f(t)结束扩展小波(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为(t/2)重复步骤14,2023年1月15日10时10分,CWT的变换过程图示,2023年1月15日10时10分,CWT性质,20
7、23年1月15日10时10分,CWT小结,小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w 比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w 比较低。,离散小波变换,在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2 j(j0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadic wavelet transform)，它是离散小波变换(discr
8、ete wavelet transform，DWT)的一种形式。,离散小波变换定义,需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。,2023年1月15日10时10分,使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(short time Fourier transform，STFT)得到的时间-频率关系图图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。,离散小波变换分析图,2023年1月15日10时10分,DWT变换方法,执行离散
9、小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号A表示信号的近似值(approximations)D表示信号的细节值(detail),2023年1月15日10时10分,在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。比如声音，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在小波分析中，近似值是
10、大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。,双通道滤波过程,2023年1月15日10时10分,离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(wavelet decomposition tree)分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要,小波分解树,2023年1月15日10时10分,小波
11、包分解树,小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(wavelet packet decomposition tree)，这种树是一个完整的二进制树。,2023年1月15日10时10分,二维离散小波变换,2023年1月15日10时10分,标准分解流程示意,2023年1月15日10时10分,非标准分解是指使用一维小波交替地对每一行和每一列像素值进行变换。首先对图像的每一行计算像素对的均值和差值，然后对每一列计算像素
12、对的均值和差值。这样得到的变换结果只有1/4的像素包含均值，再对这1/4的均值重复计算行和列的均值和差值，依此类推。非标准分解的过程如下:,非标准分解,2023年1月15日10时10分,非标准分解流程示意,2023年1月15日10时10分,小波的应用,J.Morlet，地震信号分析。S.Mallat，二进小波用于图像的边缘检测、图像压缩和重构Farge，连续小波用于涡流研究Wickerhauser，小波包用于图像压缩。Frisch噪声的未知瞬态信号。Dutilleux语音信号处理H.Kim时频分析Beykin正交小波用于算子和微分算子的简化,信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地
13、震勘探流体力学、电磁场、CT成象、机器视觉、机械故障诊断、分形、数值计算,2023年1月15日10时10分,软件包,Math Works:Wavelet ToolboxStandford:Wave ToolYale:WPLabMathSoft:S+WAVELETSAware:WaveToolRice:Wavelet ToolBox http:/www.dsp.rice.edu,使用Matlab,dwt函数idwt函数wcodemat函数dwt2函数wavedec2函数idwt2函数waverec2函数,dwt函数,功能：1-D离散小波变换格式：cA,cD=dwt(X,wname)cA,cD=d
14、wt(X,Lo_D,Hi_D)说明：cA,cD=dwt(X,wname)使用指定的小波基函数wname对信号X进行分解，cA和cD分别是近似分量和细节分量；cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的滤波器组Lo_D,Hi_D对信号进行分解,idwt函数,功能：1-D离散小波反变换格式：X=idwt(cA,cD,wname)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,wname,L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)说明：由近似分量cA和细节分量cD经过小波反变换，选择某小波函数或滤波器组，L为信号X中心附近的几个点,wcodemat函数,功
15、能：对数据矩阵进行伪真彩色编码格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y=wcodemat(X,NB,OPT)Y=wcodemat(X,NB)Y=wcodemat(X)说明：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)返回数据矩阵X的编码矩阵Y；NB为编码的最大值（缺省16），OPT是编码方式，row行方式，col列方式mat整个矩阵编码（缺省），ABSOL是函数的控制方式，0返回编码矩阵，1返回数据矩阵的ABS（缺省）,dwt2函数,功能：2-D离散小波变换格式：cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)cA,cH,cV,cD=dwt2(X,wname)说明
16、：cA近似分量，cH水平细节分量，cV垂直细节分量，cD对角细节分量,示例1：对图象做2-D小波分解,load woman;nbcol=size(map,1);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1);cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcodemat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);dec2d=cod_cA1,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1;subplot(1,2,1);ims
17、how(cod_X,);subplot(1,2,2);imshow(dec2d,);,实验结果,wavedec2函数,功能：2-D信号的多层小波分解格式：C,S=wavedec2(X,N,wname);C,S=wavedec2(X,N,Lo_D,Hi_D);说明：使用小波基函数或指定滤波器对2-D信号X进行N层分解,idwt2函数,功能：2-D离散反小波变换格式：X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,wname,S)X=idwt2(cA,cH,cV,cD,Lo_R,Hi_R,S)说
18、明：略,示例：2-D小波重构,load woman;sX=size(X);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db4);A0=idwt2(cA1,cH1,cV1,cD1,db4,sX);subplot(1,2,1);imshow(X,);Title(Original Image);subplot(1,2,2);imshow(A0,);Title(Image using idwt2);,实验结果,示例,load woman;nbcol=size(map,1);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,db1);cod_X=wcodemat(X,nbcol);cod_cA1=wcod
19、emat(cA1,nbcol);cod_cH1=wcodemat(cH1,nbcol);cod_cV1=wcodemat(cV1,nbcol);cod_cD1=wcodemat(cD1,nbcol);nbcol=size(cod_X,1);xcA1,xcH1,xcV1,xcD1=dwt2(cA1,db1);xcod_cA1=wcodemat(xcA1,nbcol);xcod_cH1=wcodemat(xcH1,nbcol);xcod_cV1=wcodemat(xcV1,nbcol);xcod_cD1=wcodemat(xcD1,nbcol);xdec2d=xcod_cA1,xcod_cH1;x
20、cod_cV1,xcod_cD1;dec2d=xdec2d,cod_cH1;cod_cV1,cod_cD1;subplot(1,2,1);imshow(cod_X,);subplot(1,2,2);imshow(dec2d,);,实验结果,waverec2函数,功能：2-D信号的多层小波重构格式：X=waverec2(C,S,wname)X=waverec2(C,S,Lo_R,Hi_R)说明：略,示例：两层分解重构,load woman;c,s=wavedec2(X,2,sym4);a0=waverec2(c,s,sym4);subplot(1,2,1);imshow(X,);Title(Or
21、iginal Image);subplot(1,2,2);imshow(a0,);Title(Image using idwt2);,实验结果,小波分析在信号降噪中的应用,分解过程：选定一种小波，对信号进行N层小波（包）分解；作用阀值过程：选择一个阀值，并对细节系数作用重建过程：将处理后的系数经过小波（包）重建原始信号；,如何选择一个阈值是关键,缺省的阈值确定模型Birge-Massart策略确定模型小波包中的penalty阈值.,本课程不做介绍,基于Matlab的示例 基于小波变换,load noisdopp;x=noisdopp;c,l=wavedec(x,5,db4);ca=wrcoef
22、(a,c,l,db4,5);index=l(2)+1:l(7);c1=c;c1(index)=c(index)/3;x2=waverec(c1,l,db4);subplot(311);plot(x);title(Original Signal);subplot(312);plot(ca);title(Recover Signal);subplot(313);plot(x2);title(Recover with dimming);,基于Matlab的示例：基于FFT,对原始信号进行FFT变换根据频谱，对比我们需要关心的成分，对不需要的频谱进行抑制；进行逆变换,信号的频谱,利用FFT滤波（使用不
23、同的宽度）,2023年1月15日10时10分,load noisdopp;x=noisdopp;y=fft(x,1024);pyy=y.*conj(y);%Yf=1000*(0:512)/1024;%plot(f,pyy(1:513);%y1=y;y1(10:1024)=0;y2=y;y2(30:1024)=0;y3=y;y3(50:1024)=0;xd1=real(ifft(y1,1024);xd2=real(ifft(y2,1024);xd3=real(ifft(y3,1024);subplot(411);plot(x);title(Original Signal);subplot(412
24、);plot(xd1);title(width=10);subplot(413);plot(xd2);title(width=30);subplot(414);plot(xd3);title(width=50);,FFT Vs DWT,FFT是一刀切的做法，DWT可以多重选择；FFT保留的能量（有时）比DWT多，但是相似性很差；降噪的光滑性和相似性在时间和频率两个空间体上体现的比重不同,小波分析在信号压缩中的应用,对原始信号进行小波变换零填充编码/量化存储解码重建,注意：本例只说明局部化压缩，实际中一般不仅在第1层压缩,load wbarb;ca1,ch1,cv1,cd1=dwt2(X,sym
25、4);codca1=wcodemat(ca1,192);codch1=wcodemat(ch1,192);codcv1=wcodemat(cv1,192);codcd1=wcodemat(cd1,192);codx=codca1,codch1;codcv1,codcd1;rca1=ca1;rch1=ch1;rcv1=cv1;rcd1=cd1;rch1(33:97,33:97)=zeros(65,65);rcv1(33:97,33:97)=zeros(65,65);rcd1(33:97,33:97)=zeros(65,65);codrca1=wcodemat(rca1,192);codrch1=
26、wcodemat(rch1,192);codrcv1=wcodemat(rcv1,192);codrcd1=wcodemat(rcd1,192);codrx=codrca1,codrch1;codrcv1,codrcd1;rx=idwt2(rca1,rch1,rcv1,rcd1,sym4);subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(map);title(Original Image);subplot(222);image(wcodemat(codx,192);colormap(map);title(dwt);subplot(223);image(w
27、codemat(rx,192);colormap(map);title(zip image);subplot(224);image(wcodemat(codrx,192);colormap(map);title(about zip image);,DWT VS DCT,DCT在压缩过程中不能提供时域信息，而DWT保留了这方面的特性；局部压缩特性,小波分析在图象锐化和钝化中的应用,图象的钝化（锐化）就是提取出图象中的低频（高频）部分；目前的方法主要集中在时域和频域上；时域方法是依靠在图象上做算子操作，快，但会丢失相关信息；频域需要两次傅里叶变换，计算量大，而且小波变换是上述两种方法的折中。,算法
28、比较,DCT法进行高通滤波的结果比较纯粹；小波结果中高频/低频都有；时间复杂度DCT：2*O(nlogn)+O(n)DWT：2*O(n),load chess;blur1=X;blur2=X;ff1=dct2(X);for i=1:256 for j=1:256 ff1(i,j)=ff1(i,j)/(1+(32768/(i*i+j*j)2);endendblur1=idct2(ff1);c,l=wavedec2(X,2,db3);csize=size(c);for i=1:csize(2);if(abs(c(i)300)c(i)=c(i)*2;else c(i)=c(i)/2;endendbl
29、ur2=waverec2(c,l,db3);subplot(221);image(wcodemat(X,192);colormap(gray(256);title(Original Image);subplot(222);image(wcodemat(blur1,192);colormap(gray(256);title(DCT Image);subplot(223);image(wcodemat(blur2,192);colormap(gray(256);title(DWT Image);,小波分析在故障诊断中的应用,小波分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功。小波分析不仅可以在低信噪比的
30、信号中检测到故障信号，而且可以滤去噪声恢复原信号，具有很高的应用价值。,小波分析在语音信号处理中的应用,语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储.利用小波分析可以提取语音信号的一些参数,并对语音信号进行处理.小波理论应用在语音处理方面的主要内容包括:清浊音分割;基音检测;去噪、重建与数据压缩等几个方面.小波应用于语音信号提取、语音合成、语音增加、波形编码已取得了很好的效果.,小波分析在地球物理勘探中的应用,在地球物理勘探中,寻找地壳物质物性参数的奇异性时是非常有意义的.由于小波变换同时具有空间域和频率域的局部性,因此它是描述、检测函数奇异性的有效工具。利用小波变换和分形理论,对
31、石油、天然气中的实际地震道数据进了奇异性检测和高分辨处理,这对于油气勘探及地震资料的高分辨处理都具有重大的理论意义和应用价值.,小波分析在医学中的应用,淋巴细胞微核的识别在医学中有重要的应用价值,可用于环境检测、药品及各种化合物的毒性检测.在微核的计算机自动识别中,用连续小波就可准确提取胞核的边缘.目前,人们正在研究利用小波变换进行脑信号的分析与处理,这样可有效地消除瞬态干扰,并检测出脑电信号中短时、低能量的瞬态脉冲.,小波分析在数学和物理中的应用,在数学领域,小波分析是数值分析强有力的工具,能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程,亦能很好地求解线性问题和非线性问题.而由此产生的小波有限元方法
32、和小波边界元方法,极大的丰富了数值分析方法的内容.如：Beylin-Coifman-Rokhlin 的论文为用小波方法与边界元方法求解偏微分方程提供了标准用小波方法分析数学中“处处连续但处处不可导”问题特别有效在物理领域中,小波表示了量子力学中一种新的凝聚态.在自适应光学中,目前有人研究了可利用小波变换进行波前重构.另外,小波变换适宜于刻画不规则性,为湍流研究提供了新的工具.,小波分析在工程计算中的应用,矩阵运算是工程中经常遇到的问题,如稠密矩阵作用于向量(离散情况)或积分算子作用于函数(连续情况)的计算.有时运算量极大,利用快速小波变换,可使得运算量大大减少.另外,在大型工程有限元分析、机械
33、工程优化设计、自动测试系统设计等方面都有小波分析的应有实例.,在股票价格行为分析方面的应用,小波分析具有良好的时频局部性,被认为是分析股市数据的有效工具.利用小波变换方法对股票价格信号进行奇异性分析,可提取奇异点并分析其分布规律,它为股市管理和投资提供了帮助.,小波分析提取文件特征,用二维多分辨分析方法提取文件参考线,从而达到能提取文件中任意兴趣信息的目的.这在各种支票、票据的分析和识别中具有重大意义.,其他方面的应用,天体研究气象分析识别信号发送计算机视觉计算机图形学曲线设计湍流远程宇宙的研究,小波变换的发展趋势,在小波的数学理论基础研究方面 在应用研究方面 与其它理论的结合,在小波的数学理
34、论基础研究方面,函数空间的刻画，基数插值小波，高维小波，向量小波，框架的研究还需进一步的深入,在应用研究方面,针对具体实际问题，如何构造选择最优小波基及框架的系统方法一直是人们关注的问题之一仿真和实验对小波分析是重要的，且取得了丰硕的成果如何让仿真和实验结果走出实验室，向人们提供具有实用价值的小波分析技术，开发以小波作为工具的高水平分析软件将吸引更多学者来进行研究小波应用的范围虽广,但真正取得极佳效果的领域并不多,人们也正在挖掘有前景的应用领域.,与其它理论的结合,小波分析刚刚打开一扇不稳定，不统一，非时间不变的信号处理的大门，这个领域远比Fourier 分析处理的时不变系统复杂在这个大领域里，小波分析是一个重要工具，同时也需要其他的理论和工具最近几年，一些学者将小波变换与神经网络、模糊数学、分形分析、遗传优化等方法相结合，形成的小波神经网络、小波模糊网络、小波分形等方法是分析非平稳，非线性问题的理想手段，并已取得了一些可喜的成果小波分析本身是一门交叉学科，将小波分析与其他理论的综合运用是今后小波变换技术发展的必然趋势,2023年1月15日10时10分,谢谢,
