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1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,本章主要内容,第一节 导数概念,第二节 函数的求导法则,第三节 高阶导数（二阶导数）,第四节 隐函数的导数及由参数方程所确定,的函数的导数,第五节 函数的微分,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,第一节,导数的概念,第二章,一、引例,1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的
2、平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2.曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处
3、的切线斜率,关于导数的说明：,不存在,就说函数在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大.,若极限,求简单函数的导数举例,步骤:,例1.求函数,(C 为常数)的导数.,解:,即,例2.求函数,解:,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,（以后将证明）,例3.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,例4,解,例5,解,在点,的某个右 邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 侧导数,记作,即,(左),(左),定义2.设函数,有定义,存在,定理1.函数,在点,且,存在,简写
4、为,若函数,与,都存在,则称,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,例6,解,三、导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直.,切线方程:,法线方程:,例7,求等边双曲线 在点 处的切线的斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程,解 所求切线及法线的斜率分别为,所求切线方程为,即,所求法线方程为,即,练习,求曲线,的通过点(0 4)的切线方程,解 设切点的横坐标为 则切线的斜率为,于是所求切线的方程可设为,根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此,解之得 于是所求切线的方程为,即 3xy40,四
5、、函数的可导性与连续性的关系,定理2.,证:,设,在点 x 处可导,存在,因为,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续，但在该点未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,例8 讨论函数,处的连续性与可导性.,解：,在,此极限不存在,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.已学求导公式:,6.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限,切线的斜率;,(变化率),思考与练习,1.函数 在某点 处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?
6、,？,与导函数,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,5.设,问 a 取何值时,在,都存在,并求出,解:显然该函数在 x=0 可导.,故,时,此时,在,都存在,作业,P65 2,5,6,7(1),第二节,思考题,解:因为,1.设,存在,且,求,所以,在,处连续,且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2.设,故,原式,是否可按下述方法作:,3.设,存在,求极限,解:原式,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,莱布尼茨(1646 1716),德国数学家,哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,
