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1、1,第六节 平面曲线的曲率,弧微分,曲率及其计算公式,曲率圆与曲率半径,小结 思考题 作业,(curvature),(arc element),第三章 微分中值定理与导数的应用,2,一、弧微分,为了得出曲线 y=f(x)的曲率公式,先计算弧长函数s(x)对x的微分,称为弧微分.,规定,设函数 f(x)在区间(a,b),内具有连续导数.,基点:,(1)曲线的正向与x增大的方向一致;,当 的方向与,曲线正向一致时,曲 率,3,单调增函数.,如图，,于是,弧 s,的增量为,那末,曲 率,4,取极限,即,又,得,弧微分公式,为单调增函数,曲 率,5,如将,代入公式,得,弧微分公式,可化为参数方程形式,
2、如曲线以极坐标方程给出,如曲线为参数方程,写到根式内,得,曲 率,6,是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.,弧段弯曲程度越大,转角相同弧段越短,1.曲率的定义,曲率,转角越大,弯曲程度大,二、曲率及其计算公式,曲 率,7,设曲线C是光滑的，,定义,曲线C 在点M处的曲率为,（,平均曲率为,存在的条件下,曲 率,8,2.曲率的计算公式,(1)直线的曲率处处为零;,(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,曲 率,9,二阶可导,由公式,曲 率,10,例,解,显然,为抛物线的顶点,抛物线在顶点处的曲率最大.,K最大.,曲 率,11,定义,(circle of curvature),
3、三、曲率圆与曲率半径,使,曲率圆.,曲率中心,曲率半径.,设曲线 y=f(x)在点,M(x,y)处的曲率为K(K 0).,在点M处的曲线的法线上,在凹的一侧取一点D,以D为圆心,为半径作圆(如图).,称此圆为曲线在点M处的,曲 率,12,(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的,(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处,(3)曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点,曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).,的曲率越小(曲线越平坦);,附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).,曲率互为倒数,即,曲 率,13,基本概念:弧微分,曲率,曲率圆,曲率中心,曲率半径;,研究曲线的弯曲程度:曲率;,四、小结,基本计算:弧微分,曲率;,曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近,曲线弧,使问题简化.,曲 率,14,思考题,的曲率最小？,曲 率,t为何值时,曲线,求出最小曲率,写出该点的曲率半径.,解,要使K(t)最小,等价于,最大,故当,即,曲率最小,且,
