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1、3 格林公式及其应用,一、区域的连通性及区域边界的方向,设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。,复连通区域,单连通区域,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时，区域D总在他的左边。,二、格林公式,定理1 设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数,P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则成立格林公式：,其中L是D的取正向的边界曲线。,证明(1)区域D既是X 型又是Y 型，即平行于坐标轴穿过D内部的直线与D的边界L 恰好交于两点，这样D可表示为下面的两种形式：,同理可证,(2)若区域D不符合(1)的要求，则可将 D 分成若干个符
2、合要求的小区域。如图,两式相加得,将D分成三个既是X型又是,Y型的小区域D1,D2,D3，则,说明：1.格林公式的实质:,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。,2.便于记忆的形式,3.格林公式对于复连通区域也成立(证明(2)含有这种情形)，但应注意：外面的边界方向逆时针，里面的边界方向顺时针。,设平面区域D的边界曲线L，则其面积,三、应用举例,1.用曲线积分表示平面区域的面积,(P=0,Q=x),(P=y,Q=0),例1(P174),解,L：x=acos,y=bsin,a b,2.计算二重积分,解 令P=0,Q=,则,D,L,4.计算非封闭曲线上的曲线积分,3.计算闭曲线上的曲线积分(P
3、172例2),解 引入闭曲线,例3 计算,其中积分曲线是半径为r 的圆在第一象限的部分(如图)。,解,5.偏导数在区域内有不连续点,例4(P146)计算，其中L为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向。,O,(1)当(0,0)D 时，,(2)当(0,0)D 时，,由格林公式,作位于D内的小圆周l:,把 L和 l 围成的闭区域记作D1，应用格林公式得(l 逆时针方向),x,y,(注意格林公式的条件),O,小结：,计算第二类曲线积分时，如果被积函,数或曲线L的方程较复杂，应首先考虑使用格林公式。,若L不是闭曲线，可适当添加曲线(通常是直线段)使之与L 构成闭曲线，再用格
4、林式。,点P0,应选取适当的闭曲线(通常是以P0为中,心的小圆)将点P0从D内挖去，再在剩余的区域上应用格林公式。,四、平面曲线积分与路径无关的条件,B,A,如果对于区域G内任意两点A、B及G内从A到B的任意两条曲线L1、L2,等式,1 定义：,2.曲线积分与路径无关的条件,在G内与路径无关(或沿G内任意闭,曲线的曲线积分为零)的充要条件是：在G内恒成立等式,D,充分性 在G内任取两点A、B 并任取两条,从A到B的光滑曲线L1、L2，把,L1、L2围成的区域记作D，则,必要性,取正向，有,矛盾。,对于含于G内的圆 L：,因 Qx Py 在点(x0,y0)连续，故 r 0,当,说明：1.在定理的
5、条件下，在G内下列结论等价：,(1)G是单连通区域是为了保证G内的任意闭曲线围成的区域 D G；(2)P、Q有一阶连续偏导数是为了应用格林公式。,(1)与路径无关；,(2)对于G内任一闭曲线C，；,(3),2.定理的两个条件缺一不可：,例6 求，L为抛物线 y=x2 1上从点,解 令,所以积分与路径无关。选择如图所示的路径：,A(1,0)到点B(2,3)的一段弧。,AA1+A1B+B1B，则,说明：本题不能选用图中虚线所示的路径。一般地，利用积分与路径无关简化计算时，通常选用直线段或折线段，但要特别注意：所选线段与原曲线所围成的区域内，Py、Qx一定要连续。,五、二元函数的全微分,证明 必要性
6、,微分的充要条件是：在G内恒成立等式,P(x,y)dx+Q(x,y)dy 在G内为某函数u(x,y)的全,充分性 任取,而Py、Qx连续，即uxy、uyx,连续，故 uxy=uyx=Py=Qx。,因积分与路径无关，故,在G 内定义了一个单值的二元函数。,u(x+x,y)u(x,y)=,其中 0 1。,同理,这样证明了du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy。,求 u(x,y)的方法,.,.,M(x,y),在区域G内选定一点M0(x0,y0),并任取一点M(x,y)，沿平行于坐标轴从M0到M的折线L1或L2计算曲线积分,得,或,注：,由于,常数。,例 7(P151)验证：,某个函数的全微分，并求
7、出一个这样的函数。,解,取积分路径如图所示，得：,注：本题的初始点不能选择为(0,0)。,例8 选择a、b使(x+ay)dx+(xbx2+y)dy为某,函数u(x,y)的全微分，并求u(x,y)。,解 令P=x+ay，Q=xbx2+y。,为使Pdx+Qdy是u(x,y)的全微分，必须,Py=a=Qx=12bx,于是,a=1，b=0，P=Q=x+y。,u(x,y)=,因 ux=P=x+y，故有,而 uy=x+c(y)=Q=x+y，得c(y)=y，,解,例9 设曲线积分 与路径无关,其中 函数(x)具有连续导数,且(0)=0,计算,曲线积分,P(x,y)=xy2,Q(x,y)=y(x).,因积分与路径无关，得,习题(P153)：3，4(1)，5(1)(3)，6(2)(5)，7,y(x)=2x y,(x)=x2+c,由(0)=0 得 c=0,从而(x)=x2。,六、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,1.计算,的上半圆周由A(2a,0)到O(0,0)与,的上半圆周由O(0,0)到B(a,0)连成的曲线AOB.,2.计算,方向。,解,例2 求曲线(x+y)2=ax(a0)与x 轴所围图形的面积。,ONA为直线 y=0，,曲线AMO为,x0,1,
