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1、,多元复合函数求导的 链式法则,第八章 多元函数微分法,第四节,上页 下页 返回 结束,多元复合函数求导,全微分形式不变性,一元函数,求导：,微分：,回顾：,上页 下页 返回 结束,的复合函数,一、多元复合函数求导的链式法则,定理.若,续的偏导数,则复合函数,证略（利用全增量公式）,的导数为,上页 下页 返回 结束,有连,可导,注,求多元复合函数的偏导数，只要对每一个中间,变量施行一元函数的链式法则，再相加即可.,搞清楚函数的复合关系.,重要的是,1.全导数,全导数,(中间变量为一元函数),推广,设,2.中间变量是多元函数,上页 下页 返回 结束,而,则,1.复合后的函数有几个自变量，对应地就
2、有几个,偏导数;,2.有几个中间变量，就有几项相加;,3.相加的每一项都是复合函数对某一中间变量的,偏导数和该中间变量对特定自变量的偏导数的乘积;,4.中间变量或自变量只有一个时，公式中的求导,记号用,，不止一个时用偏导数记号,上页 下页 返回 结束,上述求导规则称为多元复合函数的链式法则.,具有,如下特点:,特例1.,注,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,与,不同:,上页 下页 返回 结束,特例2.,例1.设,解,上页 下页 返回 结束,例2.,解,，求全导数,设,思考其他方法,上页 下页 返回 结束,例3.,解(利用全导数),求导数,设,上页 下页 返回 结束,
3、引入中间变量,则,例4.设,解,设,则,上页 下页 返回 结束,为简便起见,引入记号,例5.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解 令,则,上页 下页 返回 结束,例6.,，求一阶偏导数和,解,上页 下页 返回 结束,二、全微分形式的不变性,的全微,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,其全微分的,表达形式都一样,这一性质称为全微分形式的不变性.,设函数,若u、v为自变量，则,若 u、v为中间变量:,证,分为,上页 下页 返回 结束,证明：,上页 下页 返回 结束,例1.,例7.,利用全微分形式不变性再解,解,所以,上页 下页 返回 结束,例1.,内容小结,1.多元复合函数求导的链式法则,例如,2.全微分形式不变性,不论 u,v 是自变量还是因变量,上页 下页 返回 结束,思考与练习,解答提示:,P31 习题7,课本P31 习题7;8(2);P73 习题11,上页 下页 返回 结束,P31 题8(2),上页 下页 返回 结束,作 业 P51 18;19;20;22;23;24;25(2,4);26;27(1,3),P73 题 11,上页 下页 返回 结束,备用题,1.已知,求,解 由,两边对 x 求导,得,上页 下页 返回 结束,2.,求,解 由题设,2001考研,上页 下页 返回 结束,
