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1、,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数与隐函数的导数,第二章,三、隐函数求导,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为 n 阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推,例1.,思考:设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,求,解:,特别有:,解:,规定 0!=1,思考:,例3.设,求,
2、机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,提示:令,原式,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,求,解:,一般地,类似可证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数,则,(C为常数),牛顿莱布尼兹(Leibniz)公式,推导 目录 上页 下页 返回 结束,用数学归纳法可证牛顿莱布尼兹公式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,求,解:设,则,代入莱布尼兹公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1)逐阶求导法,(2)利用归纳法,(3)间接法,利用已知的高阶导数公式,(4)利用莱布尼兹公式,高阶导数的求法,如,机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束,三、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求由方程,在 x=0 处的导数,解:方程两边对 x 求导,得,因 x=0 时 y=0,故,确定的隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,说明:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又如,对 x 求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,P70 2,3,5(3)(4),P71 8(2),
