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1、一、函数的对称性,有些函数,其图像有着优美的对称性，,同时又有着优美的对称关系式,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,（偶函数）,Y=f(x)图像关于直线x=0对称,知识回顾,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,f(-x)=f(x),X,Y,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,f(x)=,f(4-x),f(1)=,f(0)=,f(-2)=,f(310)=,f(6),f(4-310),0,Y=f(x)图像关于直线x=2对称,f(3),f(4),从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,x,y,1,f(1+x)=,f(3-x),f(2+x)=,f(2-x),f
2、(x)=,f(4-x),对于任意的x你还能得到怎样的等式？,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,Y=f(x)图像关于直线x=2对称,1,-3,-1,-2,6,5,4,3,2,7,0,Y,x,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,x=-1,f(x)=,f(-2-x),思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称,Y,x,1,-3,-1,-2,1,6,5,4,3,2,7,8,x=-1,f(-1+x)=,f(-1-x),思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称,f(x)=,f(-2-x),Y,x,1,若y=f(x)图像关于直线x=a对称,在y=f(x)图像上任取一点P,点P关
3、于直线x=a的对称点P,则有P的坐标应满足y=f(x),也在f(x)图像上,P(x0,f(x0),P,P(2a-x0,f(x0),f(x0)=f(2a-x0),即：f(x)=f(2a-x),x0,2a-x0,y=f(x)图像关于直线x=a对称,（代数证明）,求证,已知,y=f(x)图像关于直线x=a对称,f(x)=f(2a-x),y=f(x)图像关于直线x=a对称,f(a-x)=f(a+x),y=f(x)图像关于直线x=0对称,特例：a=0,轴对称性,思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于 对称,f(-x)=-f(x),y=f(x)图像关于(0,0)中心对称,中心对
4、称性,类比探究,a,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,f(x)=-f(2a-x),x,y,o,a,y=f(x)图像关于(a,0)中心对称,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,中心对称性,类比探究,x,2a-x,f(x)=-f(2a-x),f(a-x)=-f(a+x),x,y,o,a,从”形”的角度看，,从”数”的角度看，,中心对称性,类比探究,a+x,a-x,y=f(x)图像关于(a,0)中心对称,b,a,f(a+x)=2b-f(a-x),f(2a-x)=2b-f(x),b,中心对称性,y=f(x)图像关于(a,b)中心对称,类比探究,x,y,o,思考？,(1)若y=f(x)满足f(
5、a-x)=-f(b+x),(2)若y=f(x)满足f(a-x)=2c-f(b+x),则函数图像关于 对称,则函数图像关于 对称,函数图像关于直线x=0对称,f(-x)=f(x),函数图像关于直线x=a对称,f(a-x)=f(a+x),x=a,f(x)=f(2a-x),函数图像关于(0,0)中心对称,函数图像关于(a,0)中心对称,f(-x)=-f(x),f(a-x)=-f(a+x),f(x)=-f(2a-x),轴对称,中心对称性,练习:(1)若y=f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x),则函数图像关于 对称,(2)若y=f(x)满足f(3-x)=f(4+x),(4)若y=f(x)满足f(3
6、-x)=-f(4+x),(3)若y=f(x)满足f(-2-x)=-f(-2+x),(5)若y=f(x)满足f(3-x)=3-f(4+x),二、函数图像的变换,函数图象是研究函数的重要工具,它能为所研究函数的数量关系及其图象特征提供一种”形”的直观体现,是利用”数形结合”解题的重要基础.,描绘函数图象的两种基本方法:描点法;(通过列表描点连线三个步骤完成)图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与之相关的函数图象的方法),函数图象的三大变换,平移,对称,伸缩,问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函数的图象？,（1）f(x-1)=(x-1)2,（2）f(x+1)=(x+1)2,（3）f(x
7、)+1=x2+1,（4）f(x)-1=x2-1,O,y,x,y=f(x-1),y=f(x+1),y=f(x)-1,y=f(x)+1,函数图象的平移变换：,左右平移,y=f(x),y=f(x+a),a0,向左平移a个单位,a0,向右平移|a|个单位,上下平移,y=f(x),y=f(x)+k,k0,向下平移|k|个单位,k0,向上平移k个单位,1,1,-1,-1,同步练习:,若函数f(x)恒过定点(1,1),则函数f(x-4)-2恒过定点.若函数f(x)关于直线x=1对称,则函数f(x-4)-2关于直线 对称.,(5,-1),x=5,问题2.设f(x)=(x0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x
8、)、y=-f(-x)的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。,y=-f(x),y=f(-x),y=-f(-x),对称变换,（1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称；,（2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 对称；,（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称；,x 轴,y 轴,原 点,练习：说出下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.,(1)y=2-x,(2)y=-2x,(3)y=-2-x,O,y,O,y,O,y,1,1,-1,1,-1,x,x,x,1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称2.函数y=-f(x)与函数y=f(
9、x)的图像关于x轴对称3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对称4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线 对称,函数图象对称变换的规律:,思考:“函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图像关于直线x=a对称”与“函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x),则函数y=f(x)关于直线x=a对称”两者间有何区别?,对称变换是指两个函数图象之间的对称关系,而”满足f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x)有y=f(x)关于直线x=a对称”是指一个函数自身的性质属性,两者不可混为一谈.,x=a,问题3：分别在同一坐标系中作出下列各组函数的图象，并说明
10、它们之间有什么关系？,（1）y=2x与y=2|x|,O,x,y,由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：,y=2x,保留y=f(x)中y轴右侧部分，再加上y轴右侧部分关于y轴对称的图形.,1,y=2|x|,O,y,x,-4,1,4,-1,由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：,保留y=f(x)在 x 轴上方部分，再加上x轴下方部分关于x轴对称到上方的图形,函数图象的对称变换规律：,（1）y=f(x),y=f(x+a),a0,向左平移a个单位,a0,向右平移|a|个单位,上下平移,（2）y=f(x),y=f(x)+k,k0,向上平移k个单位,k0,向下平移|k|个单位,（1）y=f
11、(x)与y=-f(x)的图象关于 对称；,（2）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 对称；,（3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 对称；,函数图象的平移变换规律：,(4)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象：保留y=f(x)中 部分，再加上这部分关于 对称的图形.,(6)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象：保留y=f(x)中 部分，再加上x轴下方部分关于 对称的图形.,x轴,y轴,原点,y轴右侧,y轴,x轴上方,x轴,左右平移,练习：已知函数y=f(x)的图象如图所，分别画出下列函数的图象：,(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).,(3)y=f(|x|);
12、(4)y=|f(x)|.,练习：已知函数y=f(x)的图象如图所，分别画出下列函数的图象：,(1)y=f(-x);(2)y=-f(x).,(3)y=f(|x|);(4)y=|f(x)|.,例1.将函数y=2-2x的图象向左平移1个单位，再作关于原点对称的图形后.求所得图象对应的函数解析式.,y=2-2x,y=2-2(x+1),-y=2-2(-x+1),y=-22x-2,向左平移1个单位,关于原点对称x换成-xy换成-y,x 换成 x+1,例2.已知函数y=|2x-2|,（1）作出函数的图象；（2）指出函数 的单调区间；（3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=2
13、x,y=2x-2,y=|2x-2|,y=|2x-2|,例2.已知函数y=|2x-2|,（1）作出函数的图象；（2）指出函数 的单调区间；（3）指出x取何值时，函数有最值。,O,x,y,3,2,1,1,-1,y=|2x-2|,例3.已知函数y=|2x-2|,（1）作出函数的图象；（2）指出函数 的单调区间；（3）指出x取何值时，函数有最值。,变式2：已知函数f(x)=2x-2,作出y=|f(|x|)|图象,小 结,1.已学的画函数图象的基本方法：,（1）描点法：,（2）图象变换法：平移变换、对称变换,3.用图象变换法画函数图象的简图时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样的变换(平移、对称等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。,2.画函数图象时可先确定函数的定义域、讨论函数的性质（如单调性、奇偶性、特殊点等),再用描点法或图象变换法得出图象。,4.利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。,
