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1、第5章 动态电路的时域分析,2.一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；,重点,4.一阶电路的阶跃响应和冲激响应。,3.稳态分量、暂态分量求解；,1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；,由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。,具有储能元件的电路为动态电路。动态电路用微分方程来描述。,含储能元件的电路在发生换路后，会从换路前的稳定状态转换到换路后的稳定状态。这个过程，称为过渡过程。,过渡过程的时间是极为短暂的，也常称这一过程为瞬态过程。由于这短暂的过程对控制系统、计算机系统、通讯系统关系重大，所以将是我们分析、讨论的重点。,动态电路的两个简单例子
2、,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uC=0,i=0,uC=Us,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uC=0,i=0,uC=Us,K动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态,有一过渡期,第三个稳定状态,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uL=0,uL=0,i=Us/R,K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i=0,uL=,uL=0,i=
3、Us/R,K断开瞬间,注意工程实际中的过电压过电流现象,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,特点：,1.动态电路,5.1 动态电路的初始条件,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,换路：电路的接通、切断、短路、电路参数的突然改变、电路连接方式的突然改变、电源输出的突然改变等，通称为换路。,换路定则：网络在t0时换路，换路后的t0+，,对C：只要|iC|M(有限量)，vC不会跳变；,对L：只要|vL|M(有限量)，iL不会跳变。,电路的初始条件：t=t0+时电路变量的值称为电路的初始状态，这些初始状态也就是求解该电路的微
4、分方程所必需的初始条件。因此，确定电路的初始条件是很重要的。,2.动态电路的基本概念,(1)t=0与t=0的概念,认为换路在 t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3.电路的初始条件,初始条件为 t=0时u，i 及其各阶导数的值,0,0,（2）换路定律,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意:,换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,（2）换路定律反映了能量不能跃变。,电容与电感在稳态和换路前的等效模型,(a)稳态时的L和C,(b)换路前有储能的L和C,(
5、c)换路前无储能的L和C,（3）求电路初始值的一般步骤,(2)由换路定律,(1)由0电路（一般为稳定状态）求 uC(0)或iL(0),(3)由0+时等效电路及uC(0+)或iL(0+)求 iC(0+)、iR(0+)、uL(0+)、uR(0+)等,得uC(0+)或iL(0+),(2)由换路定律,(1)由0电路求 uC(0)或iL(0),(3)由0+等效电路求,例,解,uC(0)=0 iL(0)=0,uC(0+)=uC(0)=0iL(0+)=iL(0)=0,例,t=0时闭合开关k求 iL(0+)、uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、i3(0+),解,(2)由换路定律,(1)由0电路求 uC(
6、0)或iL(0),(3)由0+等效电路求,uC(0+)=uC(0)iL(0+)=iL(0),iL(0+)=iL(0)=IS,uC(0+)=uC(0)=RIS,uL(0+)=-RIS,求 iC(0+),uL(0+),例,解,由0电路得：,由0电路得：,例,求K闭合瞬间流过它的电流值。,解,（1）确定0值,（2）给出0等效电路,例,解,(1)由0电路,电感短路，电容开路得：,求K闭合瞬间,(2)换路之后，S断开，有,可见电感电流发生了跃变。根据磁链守恒,由上两式解得,5.2 常系数微分方程经典解法,(1)一阶电路,电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶非齐次常系数微分方程。,通解,特解,设齐
7、次方程的解,代入齐次微分方程,K为任意常数，将由初始条件确定。,常数K的确定:,若已知初始条件,代入,得,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,(2)二阶电路,(3)高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程,复频域分析法,时域分析法,（2）求解微分方程,本章采用,工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,5.3 一阶RC电路的响应,5.3.1 一阶RC电路的电路方程,例,T0时，电路处于稳态，由电容VCR,T0时，电路处于动态，由KVL,根据换
8、路定则,uC(0)=U0,=RC,uC(0+)=K+US=U0,K=U0-US,由起始值定K,根据上节介绍的一阶微分方程的求解方法,可得此微分方程的通解为:,全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解),（1）着眼于电路的两种工作状态,特点：物理概念清晰,全响应=零状态响应+零输入响应,零状态响应,零输入响应,（2）着眼于因果关系,特点：便于叠加计算,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,已知 uC(0)=U0;uS=0,5.3.2 一阶RC电路的零输入响应,令=RC,称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电
9、流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=R C,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（C一定）i=u/R 放电电流小,C 大（R一定）W=Cu2/2 储能大,物理含义,工程上认为,经过 35,过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,t1时刻曲线的斜率等于,U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5,次切距的长度,（
10、3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,如图,.求S闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,从电容两端看的等效电阻为,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。,列方程：,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,零状态响应,齐次方程通解,非齐次方程特解,5.3.3 一阶RC电路的零状态响应,全解,uC(0+)=A+US=0,A=US,由初始条件 uC(0+)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,一阶RC电路的零状态响应,例,解,（2）延
11、时阶跃信号作用其响应也延时相同时间,阶跃信号作用到一阶零状态RC电路上，求响应 和,（1）阶跃信号作用其响应与上述分析结果相同,例,解,电路如图，求输入输出关系，已知,根据理想运算放大器的特点，由虚断虚短概念有,电路满足的微分方程为,例,解,电路如图，求输入输出关系，已知,根据理想运算放大器的特点，由虚断虚短概念有,电路满足的微分方程为,设在t=0时，S1迅速投向b，S2同时断开.因而，电路的微分方程为,根据换路定则,5.4 一阶RL电路的响应,5.4.1 一阶RL电路的电路方程,电路的满足初始条件的特解为:,或,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),零状态响应,零输入响应,5.4.2 一阶
12、RL电路的零输入响应,从而得到电感中电流,当,式中,电感电压,从以上结论可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；,令=L/R,称为一阶RL电路时间常数,L大 W=Li2/2 起始能量大R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小,大 过渡过程时间长,小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短,=L/R,电流初值i(0)一定：,iL(0+)=iL(0)=1 A,uV(0+)=10000V 造成电压表损坏。,例,t=0时,打开开关K，求uv。,电压表量程：50V,解,例,t=0时
13、,开关K由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,小结,4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2.衰减快慢取决于时间常数 RC电路=RC RL电路=L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,5.4.3 一阶RL电路的零状态响应,当,代入到,例,t=0时,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例,t=0时,开关K闭合，闭合前电路已达稳态.求t0后（1）电路全响应,（
14、2）t=5us时电流值。,解,（1）t0时电路方程为:,由换路定律得,解得,（2）t=5us时,例,t=0时,开关K打开，求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,例,t=0时,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是一个RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,全响应：,A=10,5.5 一阶电路分析的三要素法,任意一阶电路模型,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,分析,令 t=0+,其解答一般形式为：,特解,时间常数,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,对于只含直流电
15、源的一阶电路:,解,例,试求：（1）最大充电电流；（2）电路的时间常数；（3）电容上的电压响应 和电流 响应,（1）根据换路定律,t=0时充电电流最大,（2）时间常数,（3）电路中电容电压的初始值与稳态值分别为,根据三要素法，电压与电流的响应为,例,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t)。,解,三要素为：,例,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流u(t)。,解,三要素为：,（1）t=0时的电路如图（b）所示，有,时（2）计算稳态值,（3）求时间常数从电容两端看进去，当独立电压源短路时，等效电路如图（c）所示,则等效电阻,时间常数为,代入三要素法公式，可得,电路如图,已知uc(0-)=
16、u0,求输出电压u(t),解,例,根据理想运算放大器的虚短虚断特点,（1）初始值,（2）稳态值,（3）时间常数,代入三要素法公式,解,例,电路如图所示，电路中含有理想运算放大器，试求零状态响应uc,已知uin=5e(t)V,（1）求初始值,（2）求稳态值,根据理想运放的性质,（3）求电路的时间常数,从电容两端看进去电路的戴维南等效电阻,由三要素法公式，响应表达式为,5.6 简单二阶动态电路,2.二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念；,3.阶跃响应和冲激响应的概念;,重点：,1.用经典法分析二阶电路的过渡过程；,已知：,由KVL，电路方程为：,5.6.1 RLC串联电路方程的建立,二阶
17、线性常系数微分方程,由初始条件,可求解,串联电路满足的微分方程为,设此微分方程的通解为,齐次微分方程的通解,非齐次微分方程的特解,齐次微分方程对应的特征方程为,特征根,其中,非齐次微分方程的特解为,由,当us=0,得待定系数,5.6.2 RLC串联电路的零输入响应,零输入响应:电路在没有独立电源作用的情况下，仅由初始储能引起的响应,s1,s2是两个不相等的负实根.由于外加输入us=0,因而电路建立稳态后，电容电压及电流都等于零，即稳态分量ucp=0,当i0=0 时,过阻尼状态响应曲线,s1,s2是两个共轭复数根.,式中,在us=0条件下,其中,衰减谐振角频率,衰减系数,s1,s2是一对相等的实
18、根.,此时回路电阻 称为临界电阻,临界阻尼状态响应曲线,5.6.3 RLC串联电路对阶跃函数的零状态响应,零状态响应:,在t=0时,将开关K闭合,阶跃函数 作用于电路中,在过阻尼下得:,在欠阻尼下得,uc的振荡波形,解,例,电路如图，t=0时开关断开。求电流i和电压uc,（1）初始值,（2）微分方程,特解,特征方程为,特征根,微分方程的通解为,根据初始条件,得：,解,例,如图RLC并联电路，（1）建立电路的运动方程，并与RLC串联电路比较,根据KCL,其特征方程为,特征根可能出现以下三种情况,将G、L、C的值代入到特征方程中求出特征根为：,电感电流为,利用电容电压的初始值和电感电流的初始值，得
19、到以下两个方程,最后得到电感电流和电容电压,首先计算固有频率,s1,s2共轭复数，其响应为:,利用零初始条件，得到,由此可得,最后得到电感电流为,求二阶电路全响应的步骤,5.6.4 一般二阶电路分析,(1)以uc(t)或iL(t)为变量列出两个微分方程(2)利用微分算子s和1/s将微分方程变换为两个代数方程(3)联立求解两个代数方程得到解(4)将 改写为 形式，再反变换列出二阶微分方程,例,由KVL有：,选择iL(t)为变量,解,由KCL有：,代入得,即,例,电路瞬态过程是振荡性的还是非振荡性的，与输入及初始状态无关，当电路的固有频率为复数时，瞬态过程是振荡的.,将独立源置零，把电容视为电压源
20、把电感视为电流源,利用叠加定理，有,解,求解状态方程系数矩阵的特征值，有,由于固有频率为复数，故电路的瞬态过程是振荡性的。,或,解出,例,根据题意，初始值为,解1,考虑初始电流源的作用，电路的状态方程最终为,状态向量的通解已由上题给出，而求状态向量特解的方程为,解2,uc也可由电路直接求出的。稳态时，电容相当于开路，电感相当于短路，则,例,求所示电路 i 的零状态响应。,i1=i 0.5 u1,=i 0.5(2 i)2=2i 2,由KVL：,整理得：,二阶非齐次常微分方程,第一步列写微分方程,解,第二步求通解i,特征根为：P1=2，P2=6,解答形式为：,第三步求特解 i”,稳态模型,由稳态模型有：i=0.5 u1,u1=2(20.5u1),i=1A,第四步定常数,由0+电路模型：,小结：,(1)二阶电路含二个独立储能元件，是用二阶常 微分方程所描述的电路。,(2)二阶电路的性质取决于特征根，特征根取 决于电路结构和参数，与激励和初值无关。,
