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1、山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,8-3.向量的数量积与向量积,1.数量积2.向量积,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,一、向量的数量积,引例.设一物体在常力 F作用下,沿与力夹角为,的直线移动,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,1.向量的投影的概念,设a、b0，将其始点移至同一点O，,为向量a 与b之间的夹角，,两非零向量的夹角：,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,山东水利职业学院数理化教研室,
2、高等数学多媒体课件 High Mathematics,2.数量积的定义,记为ab，,两个向量a与b的数量积等于,又称数积、内积、点积，其值为一个数量。,及其夹角余弦的乘积，,即ab=|a|b|cos=,两个向量的模|a|、|b|,其中,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,性质,（为什么？）,ab=|a|b|cos,为两个非零向量,则有,（为什么？）,规定：零向量垂直于任何向量,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,运算律,(1)交换律,(2)结合律,(3)分配律,练习：P207习题8-3第1题,山东水
3、利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,例1.证明余弦定理,证:,则,如图.设,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,3.数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,4.两向量的夹角公式,得,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,相关例题：见课本203页,注意：,思考：求一个向量需要知道几个条件？,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,例2.已知三点,AMB.,解:,则,求,故,山东水利职业学院数理化教研室,高等数
4、学多媒体课件 High Mathematics,解：因,所以,构成一个等边三角形且,且,求,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,为).,求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度,例4.设均匀流速为,与该平面域的单位垂直向量,解:,单位时间内流过的体积,的夹角为,且,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,二、两向量的向量积,引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,1.定义,定义,向量,方向
5、:,(叉积),记作,且符合右手规则,模:,向量积,引例中的力矩,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,注意：,ab是一个向量；而且其特征为方向与a与b都垂直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。即：,思考:三角形面积,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,2.性质,为非零向量,则,3.运算律,(2)分配律,(3)结合律,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,4.向量积的坐标表示式,设,则,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mat
6、hematics,向量积的行列式计算法,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,向量a与b平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0,上式说明：两非零向量平行对应坐标成比例；,上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,相关例题：课本206页例14例17,请练习：710,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,补充例1.已知三点,角形 ABC 的面积,解:如图所示,求三,机动 目录 上页 下页 返回
7、结束,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,内容小结,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,2.向量关系:,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,思考与练习,1.设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦.,答案:,2.用向量方法证明正弦定理:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,山东水利职业学院数理化教研室,高等数学多媒体课件 High Mathematics,证:由三角形面积公式,所以,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
