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1、微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 一阶微分方程,第三节 可降阶的高阶微分方程,第四节(*)二阶常系数线性微分方程,第一节 微分方程的概念,一.实例,例1.曲线过(0,1),且曲线上每个点处的切线斜率等于该点的横坐 标,求此曲线方程.,设曲线方程为 y=y(x),则,二.概念,1.微分方程:,含有未知函数的导数或微分的方程.,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.(前例),未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.,本章内容,2.阶:,未知函数的最高阶导数的阶数.,例1是一阶微分方程,例2是二阶微分方程.,n阶方程一般形式:,必须出现,3.解:,如果将函数 y=y(x)代入方
2、程后恒等,则称其为方程的解.,如果解中含有任意常数,且个数与阶数相同,通解,不含任意常数的解,特解,必须独立,n阶方程通解一般形式:,4.定解条件:,确定通解中任意常数值的条件.,定解条件的个数要和阶数相同,才能确定唯一特解;,定解条件中自变量取相同值时,叫做初始条件.,5.几何意义:,通解,积分曲线族,特解,积分曲线,例:验证 是 的通解,对 用隐函数求导法得:,故 是方程的解,且含有一个任意常数.,通解,第二节 一阶微分方程,本节介绍一阶微分方程的基本类型和常见类型.,一阶微分方程一般形式:,我们研究其基本形式:,如果可化成:,(1),则(1)称为可分离变量的方程.,解法:,1.分离变量:
3、,2.两边积分:,3.得出通解:,只写一个任意常数,一、可分离变量的方程,例:,任意常数,记为C,绝对值号可省略,定解条件代入:,C=2,故特解为:,二.齐次方程的解法,如果方程(1)可化成:,齐次方程,解法:,令 化成可分离变量方程.,例:,三.一阶线性方程微分方程,一般形式:,(2),(3),一阶线性齐次方程,一阶线性非齐次方程,自由项,方程(3)是可分离变量方程,其通解为:,方程(2)的通解,常数变易法,设(2)的通解:,代入方程(2):,则方程(2)的通解:,(4),注:,1.一阶线性非齐次方程的通解可用常数变易法或公式(4)计算皆可;.,2.公式(4)中不定积分只求一个原函数即可;,
4、3.,非齐次方程的特解,齐次方程的通解,非齐次方程解的结构,例:,例:求方程 满足初始条件 的特解.,将 y 视为自变量,可以变成关于 x 的线性方程:,由 得:,故所求特解为:,四.伯努利方程,一般形式为:,当 n=0 或1时,这是线性方程.,当 时,可以化成线性方程:,两端同除以,令,则,关于 z 的线性方程,求出通解后再还原回 y,的方程称为伯努利方程,例:,两端同除以,令,代入,通解为,五.全微分方程,对于微分方程,则通解为,全微分方程,注:,(2).,(3).对于非全微分方程,有时可以找到函数,使得,全微分方程,积分因子,(4).观察法往往很实用.,例:,因为,全微分方程,取,解法一:,解法二:,例:,非全微分方程,由于,则 是积分因子,同乘以积分因子并积分得通解:,易知 也是积分因子,例:,非全微分方程,变形,则 是积分因子,注意:其他类型的微分方程往往可以化成上述类型,例:,视 x 为 y 函数,可化成线性方程,通解为:,
