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1、用LINGO求解非线性规划,目标函数或约束条件（或两者）出现非线性表达式时的规划称为非线性规划。LINGO求解非线性规划是其强项。下面通过实例来学习其用法。,实例：飞行管理(95年竞赛题),一、问题的提出在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下:,1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；2)
2、飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；3)所有飞机飞行速度均为每小时800公里;4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上；5)最多需考虑6架飞机；6)不必考虑飞机离开此区域后的状况。请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为：,飞机编号 横座标x 纵座标y 方向角(度)1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145
3、 50 159 5 130 150 230新进入6 0 0 52注:方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。,二、符号规定Pi：代表第i架飞机，新进入为第6架；xi(t),yi(t):第i架飞机的位置坐标，它们都是时间t的函数；xi0,yi0是它们的初始值；v:飞行速度，本题为常数800 km/h；i：第i架飞机的飞行飞行角；i0：第i架飞机的飞行飞行角的初始值；i：第i架飞机飞行飞行角的调整值；dij(t):第i架飞机与第j架飞机之间的距离，它是时间t的函数,三、问题的分析当前各架飞机的位置及飞行方向,画飞机位置图的MATLAB程序：x=150,85,1
4、50,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;scatter(x,y,30,r,filled);axis(-10,195,-10,170);grid on;hold on;plot(0,160,160,0,0,0,0,160,160,0,b);zt=243,236,220.5,159,230,52;zt1=zt*pi/180;b=40;x1=x+b*cos(zt1);y1=y+b*sin(zt1);for n=1:6 plot(x(n),x1(n),y(n),y1(n),k);end 以文件名feiji.m存盘,用MATLAB进行飞行模拟，画出飞行路线图,飞行模拟程序；
5、axis(-10,195,-10,170);grid on;hold on;plot(0,160,160,0,0,0,0,160,160,0,b);zt=243,236,220.5,159,230,52;zt1=zt*pi/180;vt=1;dx=vt*cos(zt1);dy=vt*sin(zt1);for n=1:120 x1=x+dx;y1=y+dy;scatter(x1,y1,10,c,filled);for j=1:5 for k=2:6,if k=j tx=x1(j)-x1(k);ty=y1(j)-y1(k);dl=sqrt(tx*tx+ty*ty);if dl=8 fprintf(
6、ni=%d j=%d n=%d,j,k,n);end end end end x=x1;y=y1;pause(0.1);end 经过计算可知，如果不调整飞行方向，飞机6和5先发生碰撞，然后6和3发生碰撞。,四、模型的建立设飞行方向角调整量为 i，经过调整后的飞行方向角为 i=i0+i；在时刻t，飞机的位置为：xi(t)=xi0+vtcos i，yi(t)=yi0+vtsin i，,两架飞机距离的平方为按题意，约束条件为：题目给出的目标是“要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小”，对调整的幅度，可以用向量i的范数来表示，故目标函数有两者表示方式：或,建立数学模型如下：,这两种目标函数都是非线性的，约
7、束条件也是非线性的，因而是非线性规划，且是时间的连续函数，为了简化计算，令vt=l，把l离散化，且l在适当范围内取值(l=其它值时dij8，不会发生碰撞)经过预先计算可知，碰撞可能发生94l112范围内。现在把l的范围放宽到90l120，为减少计算量，从初步计算可知，飞机1和2不会与其它飞机发生碰撞，故碰撞约束条件可以不考虑1和2。编写LINGO程序，计算得到结果：3=0.0495412弧度=2.83856=0.01380405弧度=0.7909目标函数值：0.06334526弧度=3.6294注：在相同目标函数下，调整方案不唯一。,计算可知，该调整方案可行，不会发生碰撞。LINGO程序如下：
8、MODEL:SETS:FEIJI/P1.P6/:ZT0,DZT,ZT1,XI0,YI0,XI,YI;JULI/L1.L5001/:L;ENDSETS DATA:XI0=150,85,150,145,130,0;YI0=140,85,155,50,150,0;ZT0=4.2411150082,4.118977035,3.848451,2.775073511,4.01425728,0.907571211;ENDDATA,FOR(JULI(I):L(I)=80+(I-1)/100);FOR(FEIJI:BND(0,DZT,0.08);FOR(FEIJI:ZT1=ZT0+DZT);FOR(JULI(I):FOR(FEIJI(J)|J#LT#6:FOR(FEIJI(K)|K#GT#J:(XI0(J)-XI0(K)+L(I)*(COS(ZT1(J)-COS(ZT1(K)2+(YI0(J)-YI0(K)+L(I)*(SIN(ZT1(J)-SIN(ZT1(K)2=64);););MIN=SUM(FEIJI(I):ABS(DZT(I);END,
