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1、第四讲 矩阵与线性代数计算,研究内容：线性方程组的求解与矩 阵特征值问题,一、矩阵定义,二、矩阵生成生成规则生成方式：由元素列表直接生成矩阵。从外部数据文件读入矩阵。用户自编M文件生成矩阵。利用小阵生成大阵。利用系统内部函数生成矩阵。,A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;B=A,A+0.1;A+0.2,A+0.3B=1.0000 2.0000 3.0000 1.1000 2.1000 3.1000 4.0000 5.0000 6.0000 4.1000 5.1000 6.1000 7.0000 8.0000 9.0000 7.1000 8.1000 9.1000 1.2000 2.2000
2、 3.2000 1.3000 2.3000 3.3000 4.2000 5.2000 6.2000 4.3000 5.3000 6.3000 7.2000 8.2000 9.2000 7.3000 8.3000 9.3000,（1）zeros：生成元素全部为0的矩阵。B=zeros(3,4)B=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0（2）ones：生成元素全部为1的矩阵。C=ones(2,5)C=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1（3）rand：生成均匀分布随机元素矩阵。D=rand(3,5)D=0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.9218 0.2311 0
3、.8913 0.0185 0.6154 0.7382 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 0.1763,（4）randn：生成正态分布随机元素矩阵。E=randn(2,4)E=-0.4326 0.1253-1.1465 1.1892-1.6656 0.2877 1.1909-0.0376（5）magic：生成N阶幻方方阵。M=magic(4)M=16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1（6）diag：生成一个矩阵的主对角元素。Mo=diag(M)Mo=16 11 6 1,diag(Mo)ans=16 0 0 0 0 11 0 0 0 0
4、6 0 0 0 0 1（7）triu：生成上三角阵。M1=triu(M)M1=16 2 3 13 0 11 10 8 0 0 6 12 0 0 0 1（8）tril：生成下三角阵。M2=16 0 0 0 M2=tril(M)5 11 0 0 9 7 6 0 4 14 15 1,（9）length：用来返回指定向量的长度。n=length(Mo)n=4（10）size：返回指定矩阵的行数和列数。m,n=size(M)m=4 n=4（11）eye：生成指定行列数的单位矩阵。e=eye(size(M)e=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1（12）hilb：生成以1/i+j
5、-1为元素的实对称矩阵。,h4=hilb(4)h4=1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429三、矩阵取块,A=1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 A(2,:)ans=2.1000 2.2000 2.3000 2.4000A(:,3)ans=1.3000 2.3000 3.3000A(2
6、:7)ans=2.1000 3.1000 1.2000 2.2000 3.2000 1.3000,A(:,2:4)ans=1.2000 1.3000 1.4000 2.2000 2.3000 2.4000 3.2000 3.3000 3.4000A(:)ans=1.1000 2.1000 3.1000 1.2000 2.2000 3.2000 1.3000 2.3000 3.3000 1.4000 2.4000 3.4000,四、矩阵运算,矩阵的行列式与转置阵行列式：det(A)A1=1 2 3;4 5 6;7 8 0;A10=det(A1)A10=27 A2=1 2 3;4 5 6;7 8
7、9;A20=det(A2)A20=0 syms c A3=1 2 3;4 5 6;7 8 c;A30=det(A3)A30=-3*c+27,转置矩阵：A B1=1 3 5;2 6 10;BB=B1,AA=A1 BB=1 2 3 6 5 10 AA=1 4 7 2 5 8 3 6 0矩阵的加、减、乘及乘方运算注：与数学中的运算符大致一样，可开任意有理数根。矩阵求逆与除法运算(满秩方阵)A-1=inv(A),A/B=A*inv(B),AB=inv(A)*B,inv(A1)ans=-1.7778 0.8889-0.1111 1.5556-0.7778 0.2222-0.1111 0.2222-0.1
8、111 inv(A3)ans=-1/3*(5*c-48)/(c-9),2/3*(c-12)/(c-9),1/(c-9)2/3*(2*c-21)/(c-9),-1/3*(c-21)/(c-9),-2/(c-9)1/(c-9),-2/(c-9),1/(c-9)例1：求解方程组AX=b,A=1 1；1 1，b=5;1A=1-1;1 1;b=5;1;X=inv(A)*b;或X=Abinv(A),Xans=0.5000 0.5000 X=3-0.5000 0.5000-2,矩阵秩与奇异值rank(A)A1=1 2 3;4 5 6;7 8 0;A2=1 2 3;4 5 6;7 8 9;B1=1 3 5;2
9、 6 10;rank(A1)ans=3 rank(A2)ans=2 rank(B1)ans=1奇异值,矩阵范数与条件数范数：norm(A,p)b=1 2 3;A12=norm(A1,2);A22=norm(A2,2);b2=norm(b,2);A12,A22,b2A12=13.2015A22=16.8481 b2=3.7417条件数：cond(A)K1=cond(A1)K1=35.1059K2=cond(A2)K2=3.8131e+016 病态方程组,五、矩阵特征值和特征向量,P,R=eig(A)实对称矩阵：A1=5-2 0;-2 6 2;0 2 7;P,R=eig(A1)P=0.6667 0
10、.6667-0.3333 0.6667-0.3333 0.6667-0.3333 0.6667 0.6667R=3.0000 0 0 0 6.0000 0 0 0 9.0000,实对称矩阵：A2=1-1-1;-1 1-1;-1-1 1;P,R=eig(A2)P=0.5774 0.7634 0.2895 0.5774-0.6325 0.5164 0.5774-0.1310-0.8059R=-1.0000 0 0 0 2.0000 0 0 0 2.0000,B2=1 2 2;1-1 1;4-12 1;P,R=eig(B2)P=0.9045-0.7255-0.7255 0.3015-0.2176-0
11、.0725i-0.2176+0.0725i-0.3015 0.5804-0.2902i 0.5804+0.2902iR=1.0000 0 0 0-0.0000+1.0000i 0 0 0-0.0000-1.0000i,六、矩阵分解与广义逆阵,广义逆阵：设A为m*n阶矩阵，如果存在n*m阶矩阵G,满足条件(1)AGA=A,(2)GAG=G,(3)(AG)*=AG,(4)(GA)*=GA,*表示共轭后再转置，则称G为A的广义逆阵，记为A+=G。A+=pinv(A)A1=1 2 3;4 5 6;7 8 0;G1=pinv(A1)G1=-1.7778 0.8889-0.1111 1.5556-0.77
12、78 0.2222-0.1111 0.2222-0.1111,A2=1 2 3;4 5 6;G2=pinv(A2)G2=-0.9444 0.4444-0.1111 0.1111 0.7222-0.2222 A2*G2ans=1.0000 0-0.0000 1.0000 G2*A2ans=0.8333 0.3333-0.1667 0.3333 0.3333 0.3333-0.1667 0.3333 0.8333,A3=1 2;2 4;3 6;G3=pinv(A3)G3=0.0143 0.0286 0.0429 0.0286 0.0571 0.0857 A3*G3ans=0.0714 0.1429
13、 0.2143 0.1429 0.2857 0.4286 0.2143 0.4286 0.6429 G3*A3ans=0.2000 0.4000 0.4000 0.8000,LU分解A=LU，A是方阵，U是上三角阵，L是一个经过行交换的下三角阵。L,U=lu(A)A1=5-2 0;-2 6 2;0 2 7;L1,U1=lu(A1)L1=1.0000 0 0-0.4000 1.0000 0 0 0.3846 1.0000U1=5.0000-2.0000 0 0 5.2000 2.0000 0 0 6.2308,Cholesky分解A=RR,A为对称正定矩阵，R为上三角阵，R为R的转置。R=cho
14、l(A)A=5-1 0;-2 6 2;0 2 7;R=chol(A)R=2.2361-0.4472 0 0 2.4083 0.8305 0 0 2.5120,QR分解A=QR,Q为正交阵，R为上三角阵。Q,R=qr(A)A1=5-2 0;-2 6 2;0 2 7;Q1,R1=qr(A1)Q1=-0.9285-0.3431-0.1421 0.3714-0.8578-0.3553 0-0.3827 0.9239R1=-5.3852 4.0853 0.7428 0-5.2259-4.3945 0 0 5.7564,奇异值分解A=U*S*V*,S为A的奇异值对角阵，U与V为正交阵，V*是V的共轭后再转
15、置。U,S,V=svd(A)A1=1 2 3;2 3 4;3 4 5;U1,S1,V1=svd(A1)U1=-0.3851 0.8277 0.4082-0.5595 0.1424-0.8165-0.7339-0.5428 0.4082S1=9.6235 0 0 0 0.6235 0 0 0 0.0000V1=-0.3851-0.8277 0.4082-0.5595-0.1424-0.8165-0.7339 0.5428 0.4082,例2：求解线性方程组 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9 3x1+4x2+7x3=14解：A1=1 2 3;2 3 4;3 4 7;b1=6;9
16、;14;r1=rank(A1)r1=3 所以A1为一满秩方阵，方程组有惟一解。X11=A1b1 X11=1.0000 1.0000 1.0000,七、线性方程组求解,例3：求解 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9 3x1+5x2+7x3=15解：A2=1 2 3;2 3 4;3 5 7;b2=6;9;15;r12=rank(A2)r12=2 Ab2=A2,b2Ab2=1 2 3 6 2 3 4 9 3 5 7 15 r22=rank(Ab2)r22=2由r22=r21=2知，方程组为相容方程组，只有两个独立方程，可取 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9,若令
17、x3=c,利用线性方程组的符号解法有：A20=1 2;2 3;b20=sym(6-3*c;9-4*c);X20=A20b20 X20=c 3-2*c解为X=x1,x2,x3=c,3-2c,c,例4：求解 x1+2x2+3x3=6 2x1+4x2+6x3=12 3x1+6x2+9x3=18解：A3=1 2 3;2 4 6;3 6 9;b3=6;12;18;r13=rank(A3)r13=1 Ab3=A3,b3;r32=rank(Ab3)r32=1由r31=r32=1知方程为相容方程组，且只有一个方程独立，可取x1+2x2+3x3=6。若令x1=c1,x2=c2,则x3=2-1/3c1-2/3c2。解为x1=c1,x2=c2,x3=2-1/3c1-2/3c2。,例5：求解 x1+2x2+3x3=6 2x1+3x2+4x3=9 3x1+5x2+7x3=14解：A4=1 2 3;2 3 4;3 5 7;b4=6;9;14;r41=rank(A4)r41=2 Ab4=A4,b4;r42=rank(Ab4)r42=3由r41=r42知方程组为矛盾方程组，不存在通常意义下的解，但可利用广义逆阵求最小二乘解，X=pinv(A4)*b4X=1.1667 1.0000 0.8333,
