《ppt41第四章逻辑函数及其简化.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ppt41第四章逻辑函数及其简化.ppt（51页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、无论是数字仪表，还是计算机，其内部功能比较复杂。但其内部通常由几种或几十种最基本的电子电路组成。在这些电子电路中多数是数字逻辑电路。,数字逻辑电路：用逻辑函数进行描述的电路。,、输入、输出具有一定的逻辑关系（条件、结果）,、实现逻辑函数的电路叫做逻辑电路,、描述输出、输入逻辑关系的表达式叫做逻辑表达式,、逻辑电路的输出、输入量，都用数字量表示,、实现逻辑关系的电子电路通称为门电路。,数字逻辑电路特点：,第四章逻辑函数及其简化,逻辑代数,逻辑代数是分析和设计数字电路的基本工具。因此首先要了解逻辑代数有什么基本特性，逻辑代数和普通代数又有什么异同之处。,逻辑代数和普通代数的区别：,共同点：,都用字
2、母 A、B、C-等表示变量。,仍遵守与普通代数一样的运算优先顺序（先括号、其次乘、最后加）。,不同点：,这些变量 A.B.C 的取值范围是 0 和 1。,其运算规则是按逻辑规则来定义的。,0、1不再表示数量的大小，只代表不同的逻辑状态。,逻辑代数中的三种基本运算,在逻辑代数中，0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻辑状态。,逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有0和1两种。,逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。,逻辑代数也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，每个逻辑变量的取值只有0和1两种。,在逻辑代数中，
3、0和1不再表示数量的大小，只代表两种不同的逻辑状态。,逻辑代数主要用于解决开关电路和数字逻辑电路的分析与设计。,一、基本逻辑运算：与、或、非 三种。,为了便于理解基本逻辑关系的基本含义，先通过一些简单例子作一说明。,1、“与”运算及与门,逻辑与的概念：若决定一件事的所有条件都成立，这件事的结果就会发生。否则这件事就不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑与、逻辑乘、或称为：“与”运算。,能够实现与逻辑运算的电子电路称为与门电路。,逻辑代数中的三种基本运算,开关断开为 0,开关闭合为 1,灯亮为 1,灯不亮为 0,假设：,用四个式子表示：,0 0=0,0 1=0,1 0=0,1 1=1,与逻辑的表示方
4、法：（四种）,真值表：,将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。,逻辑表达式：,把输出与输入之间的逻辑关系写出与运算的逻辑代数式，即为逻辑表达式。,F=A B,用串连开关电路简单说明与逻辑关系：,A,B,有0为0全1为1,工作波形图,把输入和输出之间的逻辑关系用波形图的方法表示，即为工作波形图。,有0为0，全1为1,逻辑图（符号）,将逻辑函数中各变量之间的逻辑关系用图形符号表示，即为逻辑图。,把实现与逻辑运算的单元电路叫做与门。,用串连开关电路简单说明与逻辑关系：,&,逻辑或的概念：决定某一件事的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件满足，这件事的结果就会发生，否则结
5、果不会发生。这样的逻辑关系称为：逻辑或、逻辑加、或称为“或”运算。,0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 1=1,假设：,开关闭合为 1,开关断开为 0,灯亮为 1,灯不亮为 0,用四个式子表示：,用并联开关电路简单说明或逻辑关系：,或逻辑的表示方法：,2、“或”运算及或门,真值表：,工作波形图,逻辑图（符号）,逻辑表达式：,F=A+B,把实现或逻辑运算的单元电路叫做或门。,有1为1全0为0,“或”运算及或门,1,逻辑非的概念：条件具备了，结果不会发生。条件不具备，结果一定发生。,A F0 11 0,逻辑表达式：,工作波形:,逻辑符号：,开关闭合为 1 开关断开为 0灯亮为 1灯不亮为 0,
6、假设：,把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。,3、“非”运算及非门,逻辑运算,逻辑符号,真值表,基本运算规则,与,逻辑表达式,或,非,三种基本逻辑运算小结,实际的逻辑问题比与、或、非复杂得多。利用这三种基本逻辑关系，可以得出处理实际逻辑问题的各种复合逻辑，如与非、或非、与或非、异或、同或逻辑等。,1、与非逻辑,与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。,与非逻辑表达式：,与非门逻辑符号：,能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。,二、复合逻辑运算：,&,A,F,B,与非门真值表：,有0为1,全1为0,与非门运算顺序是：先与后非,即：当输入A、B中，只要
7、有一个0,输出就是1,只有输入全为1时，输出才是0。,工作波形图：,与非逻辑,或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。,能够实现或非逻辑运算的电路称为或非门。,或非逻辑表达式：,或非门逻辑符号：,或非门真值表：,或非门运算顺序是：先或后非,有1为0,全0为1,即：当输入A、B中，只要有一个1,输出就是0,只有输入全为0时，输出才是1。,或非门工作波形,2、或非逻辑,1,F,与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的组合。它是将输入变量A,B及C,D先进行与运算，然后再进行或非运算。,能够实现与或非逻辑运算的电路称为与或非门。,逻辑符号：,与或非门真值表
8、：,工作波形图：,逻辑表达式：,每组有0为1,某组全1为0。,3、与或非门,F,A,B为两个单刀双掷开关。,灯亮的条件是：一个开关打在上面，另一个开关打在下面。两个开关同时打在上面或者下面，则灯不亮。,假设：,开关打在上面为1开关打在下面为0,灯亮为1灯灭为0,真值表：,由真值表写出逻辑表达式：,取F=1列与项逻辑式。,对任何一种输入变量组合，变量之间是“与”运算。,如果输入变量是“1”,记原变量。如果输入变量是“0”,记反变量。,各组合之间是“或”逻辑关系。,异或运算特点：,相异为1，相同为0,4、异或门,异或逻辑符号：,异或逻辑基本运算规律：,0 0=0 1 1=01 0=0 1=1,推论
9、：,异或门工作波形图：,异或逻辑,F,假设：,开关打在上面为1开关打在下面为0,灯亮为1灯灭为0,灯亮的条件是：两个开关均打在上面，或均打在下面。,同或运算特点：,相同为1,相异为0。,同或逻辑符号：,同或逻辑和异或逻辑互为反函数。,同或逻辑真值表,同或逻辑表达式,5、同或门,1、逻辑函数间的相等,设有两个逻辑函数,F=f(A1A2-An)G=g(A1A2-An),看出：F和G都是变量 A1A2-An的逻辑函数。,如果:2n 种组合中每一状态组合F和G值相同，则称为F和G相等，记作F=G。,如果F=G，其真值表相同。反之，F和G真值表相同，F一定等于G。,因此，要证明两个逻辑函数相等，只需列出
10、真值表，若真值表相同，那么这两个函数一定相等。,三、逻辑代数的基本定律和规则,例：设,证明 F=G,证：,(1)、列出F和G的真值表,从真值表中可以看出：每一种组合 F 和 G 都相等，所以 F=G。,即：F 和 G是同一逻辑的两种不同表达式。,逻辑代数的基本定律和规则,0 0,0 0,0 0,0 0,1 1,0 0,1 1,1 1,(2)、实现F和G的逻辑电路图,两种不同的电路形式，表示同一种逻辑功能。,将运算符号变为逻辑符号,逻辑代数的基本定律和规则,1,A,B,C,A,B,C,&,&,2、逻辑代数的基本公式,两点说明：,1、乘法运算中乘号“”可以省略，A B 可写为AB,2、运算顺序，先
11、括号，再算乘，最后加。,这些基本定律反应了逻辑代数的基本规律，其正确性都可以利用真值表加以验证。,例：证明反演率,从真值表中看出：,逻辑代数的基本公式,（1）、代入规则,任何一个含变量 A 的等式中，如果将出现 A 的地方，都代之一个逻辑函数 F，则等式仍然成立。,例1：分配率A(B+C)=AB+AC,令：C=EF 代入公式,A(B+EF),证:A(B+EF),用乘对加的分配率证明,例2:,则：,令：A=CD,证：,代入规则之所以正确：,是因为任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有两种可能取值(0,1),所以可以将逻辑函数当作一个逻辑变量对待。,3、三个规则,=AB+AEF,=AB+AE
12、F,有了代入规则，基本定律不受变量限制，扩大了基本公式的应用范围。,（2）、反演规则：,（摩根定理）,目的：,求原函数的反函数,已知函数为 F，将 F 中的所有“”换为“”，“”换为“”，0 换为 1，1 换为 0，原变量换为反变量，反变量换为原变量。得到的函数式就是原函数的反函数，或称为补函数。记作,例1:已知,解：由反演规则直接得出,由反演率得,2、在运算过程中适当增加括号，以保证原函数的运算顺序不变。,本例说明：,1、由反演规则求反函数，比直接用反演率求反函数方便、简单。,三个规则,例2:已知,解：利用反演规则直接写出,注意：不属于单个变量上的反号保持不变。,（3）、对偶规则：,对偶式：
13、已知函数为 F，将 F 中的所有“”换为“”，“”换为“”，0 换为 1，1 换为 0，变量保持不变。得到的函数式就是原函数的对偶式 F。,例：,首先了解什么是对偶式；,三个规则,对偶规则：,如果两个函数 F 和 G 相等，那么它们各自的对偶式 F 和 G也相等。,例：F=A(B+C),由乘对加的分配率知：,F=A+BC,由加对乘的分配率知:,G=(A+B)(A+C),G=AB+AC,F=A(B+C)=AB+AC,F=G,F=G,F=A+BC=(A+B)(A+C),三个规则,掌握对偶规则的目的：当证明某一等式相等后，根据对偶规则，其对偶式也相等。使证明的式子数目减少一半。起到事半功倍的效果。,
14、目的：要求学会证明函数相等的方法，运用逻辑代数的基本定律，得出一些常用公式。,吸收律：,（互补率）,说明：两个乘积项相加时，若乘积项分别包含B和/B两个因子。而其余因子相同。则两项定能合并成一项，消去B和/B两个因子。,说明：两个乘积项相加时，其中一项的部分因子恰好是另一乘积项的补（/A)，则该乘积项中的/A是多余的。,吸收律：,对偶式：,对偶式：,4、若干常用公式,包含律：,推论：,对偶式：,证：,若干常用公式,A+BC=(A+B)(A+C),证：(A+B)(A+C)=AA+AC+AB+BC,=(A+AC+AB)+BC,=A(1+C+B)+BC,=A+BC,A(B+C)=AB+AC,交叉互换
15、率：,对偶式：,加对乘的分配率：,对偶式：,若干常用公式,常用逻辑函数表示方法有：,1、逻辑真值表,2、逻辑表达式,3、逻辑图,各种表示方法间的相互转换,一、从真值表写出逻辑表达式,例：已知一个奇偶判别函数的真值表（偶为1,奇为0)，试写出它的逻辑函数式。,解：,当ABC=011时，,当ABC=101时，,当ABC=110时，,因此，Y的逻辑函数应当等于这三个乘积项之和。,4、工作波形图,5、逻辑函数的表示方法,通过以上例题可以总结出从真值表写出逻辑函数式的一般方法。,1、找出真值表中使逻辑函数Y=1的输入变量取值组合。,2、每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，输入变量取值为1的写入原变量，
16、取值为0的写入反变量。,3、将取值为1的乘积项相加，即得到Y的逻辑函数式。,二、从逻辑表达式列出真值表,将输入变量的所有状态组合逐一代入逻辑式，求出函数值，列成表，即可得到真值表。,例：已知函数,求其对应真值表。,解：将三变量所有取值组合代入Y式中，将计算结果列表。,逻辑函数的表示方法,三、从逻辑表达式画出逻辑图,用图形符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。,例：已知逻辑函数,画出对应逻辑图。,解：将式中所有的与、或、非运算符号用逻辑符号代替，并根据运算优先顺序把这些逻辑符号连接起来，就得到Y的逻辑图。,逻辑函数的表示方法,四、从逻辑图写出逻辑表达式,从输入端到输出端逐级写出每个逻辑符
17、号的逻辑式，就得到对应的逻辑表达式。,例：已知逻辑图，试写出逻辑表达式。,解：从输入A、B开始逐个写出每个逻辑符号输出端的逻辑式。,逻辑函数的表示方法,与-或式,与非与非式,或-与式,或非或式,或-与非式,逻辑函数的八种形式可以用八种逻辑电路来实现。,任何一个逻辑函数都可以通过逻辑变换写成以下八种形式：,八种不同的逻辑电路可以实现同一逻辑功能。,与-或非式,与非与式,或非或非式,目的：为图解化简法打好基础。,与项：逻辑变量间只进行乘运算的表达式称为与项。,与或表达式：与项和与项间只进行加运算的表达式称为与或表达式。如:,或项：逻辑变量间只进行或运算的表达式称为或项。,或与表达式：或项和或项间只
18、进行乘运算的表达式称为或与表达式。如:,在介绍逻辑函数的标准形式之前，先介绍最小项和最大项的概念，然后介绍逻辑函数的“最小项之和”及“最大项之积”两种标准形式。,几个概念：,四：逻辑函数的两种标准形式,(1)定义：,最小项是一个与项。,(2)特点：,n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个与项为最小项。n 变量有 2n 个最小项。,例如：在三变量A、B、C的最小项中：,1、最小项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1。,当A=1、B=0、C=1时，,所对应的十进制数就是5。,按照上述约定，作出三变量最小项编号表。,原取1,反取0.,一、最小项
19、和最大项,（3）最小项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。,三变量最小项编号表,所有最小项之和为1。,任意两个最小项的乘积为0。,具有相邻性的两个最小项之和，可以合并成一项，并消去一对因子。,相邻性：,若两个最小项彼此只有一个因子不同，且互为反变量，则称这两个最小项具有相邻性。,例：,最小项和最大项,定理：任何逻辑函数 F 都可以用最小项之和的形式表示。而且这种形式是唯一的。,1、真值表法：,将逻辑函数先用真值表表示，然后再根据真值表写出最小项之和。,例：将,表示为最小项之和的形式。,解：,由最小项特点知：n 个变量都出现，BC 缺变量 A,所以 F
20、是一般与或式，不是最小项之和的标准形式。,列：F 真值表：,(4)、用最小项表示逻辑函数的方法,由最小项性质、知：每个最小项等于1的自变量取值是惟一的。,那么：将 F=1 的输入变量组合相加即可。1表示原变量,0表示反变量,用最小项表示逻辑函数的方法,2、摩根定律及配项法,将逻辑函数反复利用摩根定律及配项法，将其表示为最小项之和的形式。,例1：,解：,原取1反取0,用最小项表示逻辑函数的方法,例2：将,表示为最小项之和的形式。,解：,说明：全部由最小项相加构成的与-或表达式称为最小项表达式，是与-或表达式的标准形式。(都是最小项，不是全部最小项)。,用最小项表示逻辑函数的方法,(1)定义：,最
21、大项是一个或项。,(2)特点：,n 个变量都出现，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次。称这个或项为最大项。n 变量有 2n 个最大项。,例如：在三变量A、B、C的最大项中：,2、最大项,输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0。,当A=1、B=0、C=1时，,按照上述约定，作出三变量最大项编号表。,如果将最大项为0的ABC取值视为一个二进制数，并以其对应的十进制数给出最大项编号，,原取0,反取1。,最小项和最大项,（3）最大项的重要性质,在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0。,三变量最大项编号表,所有最大项之积为0,任意两个最大项之和为1
22、。,只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。,例：,(4)、用最大项表示逻辑函数的方法：,定理：任何逻辑函数 F 都可以用最大项之积的形式表示。而且这种形式是惟一的。,用最大项表示逻辑函数的方法有两种：,真值表法,加对乘的分配率及配项法,最小项和最大项,一、真值表法：,表示为最大项之积的形式。,列：F 真值表：,解：把真值表中 F=0 的输入变量，以最大项的形式表示。输入0 表示原变量，1 表示反变量。,既可以用最大项之积表示，又可以用最小项之和表示。,比较函数F的最大项之积和最小项之和表达式，可以发现；只要知道一种形式就可以直接写出另一种表达形式。,加对乘的分配率,配项,代入规则,加对乘的分配率,合并项,二、加对乘的分配率及配项法,表示成最大项之积和最小项之和的形式。,解：,最大项原变量记做0，反变量记做1。,最小项之和为：,A+B缺变量C,A+C缺变量B,由以上讨论可知：全部由最大项相乘构成的或-与表达式称为最大项的标准表达式，又称为标准或-与表达式。,3、最小项与最大项之间的关系：,脚号相同，互为反演。,例1:,例2:,因子相同，互为对偶。,求其对偶式。,最小项与对偶项之和为15.,3、最小项与最大项之间的关系：,脚号相同，互为反演。,例1:,例2:,因子相同，互为对偶。,求其对偶式。,最小项与对偶项之和为15.,
