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1、第四章 控制系统数学模型的描述,控制系统的数学模型在控制系统的研究中有着相当重要的地位，要对系统进行仿真处理，首先应当知道系统的数学模型，然后才可以对系统进行模拟。同样，如果知道了系统的模型，才可以在此基础上设计一个合适的控制器，使得系统响应达到预期的效果，从而符合工程实际的需要。,在线性系统理论中，一般常用的数学模型形式有：传递函 数模型（系统的外部模型）、状态方程模型（系统的内部模 型）、零极点增益模型和部分分式模型等。这些模型之间都 有着内在的联系，可以相互进行转换。,按系统性能分：线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定系统和不确定系统。按控制目标分：定值系统
2、和随动系统1、线性连续系统：用线性微分方程式来描述，如果微分方程的系数为常数，则为定常系统；如果系数随时间而变化，则为时变系统。我们讨论的系统主要以线性连续定常(时不变）系统（LTI）为主。2、线性定常离散系统：离散系统指系统的某处或多处的信号为脉冲序列或数码形式。这类系统用差分方程来描述。3、非线性系统：系统中有一个元部件的输入输出特性为非线性的系统。4、随动系统：仿形加工，跟踪系统（循迹、清淤、雷达）,4.1 控制系统的分类,4.2 线性连续定常系统描述,一、LTI线性连续系统的微分方程模型,微分方程是控制系统模型的基础，一般来讲，利用机械学、电学、力学等物理规律，便可以得到控制系统的动态
3、方程，这些方程对于线性定常连续系统而言是一种常系数的线性微分方程。,如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程进行求解，就可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。通过拉氏变换和反变换，可以得到线性定常系统的解析解，这种方法通常。然而通常寻找解析解是困难的。MATLAB提供了微分方程的数值解法函数，不仅适用于线性定常系统，也适用于非线性及时变系统。,例,电路图如下，R=1.4欧，C=0.32法，初始状态：电流i（t）为零，电容电压u（t）为0V，t=0时刻接通电压r（t），求出系统微分方程和传递函数。,微分方程,把上述公式中的u换成c表示，则有,连续系统的微分方程模型一般形式如下：
4、,式中 a,b 为实常数，m=n,对微分方程（3）两端做Laplace变换（参见下表）,求得传递函数,二、连续系统的传递函数模型,把上述推导传递函数公式中的U换成C表示，则有,注意：1.式中正斜两种字体C和R的含义是不同的;2.T=RC=1.4 x 0.32=0.448,对线性定常系统，式中s的系数均为常数，且a0不等于零，这时系统在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num和den表示。num=b0,b1,bm-1,bm（numerator）den=a0,a1,an-1,an（denominator）注意：1.它们都是按s的降幂进行排列的。2
5、.分子分母都是多项式的形式简称为 t f 型,连续系统LTI的传递函数模型一般形式如下：,零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。,在MATLAB中零极点增益模型用z,p,k矢量组表示。即：z=z1,z2,zmp=p1,p2,.,pnk=k注意：分子分母都是因式相乘的形式简称为zpk型,三、零极点增益模型,k为系统增益，zi为零点，pj为极点,控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。函数r,p,k=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分
6、展开，以及把传递函数分解为微分单元的形式。向量b和a是按s的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量 r，极点返回到列向量 p，常数项返回到 k。b,a=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式之比 p(s)/q(s)。（与residue(b,a)互为逆转换）residue 数学术语-余数、留数。部分分式形式可简称为rpk型。注意！勿与zpk型混淆。,四、部分分式展开,状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称为动态方程，经典控制理论用传递函数将输入输出关系表达出来，而现代控制理论则用状态方程和输出方程来表达输入输出关系，揭示了系统内部状态对系统性能的影响。u-
7、输入变量，y-输出变量，x-状态变量,五、状态空间模型,在MATLAB中，系统状态空间用（A,B,C,D)矩阵组表示。常用格式：sys=ss(a,b,c,d)对应A,B,C,D sys=ss(a,b,c,d,Pt1,Val1,Pt2,Val2.)状态空间模型一般简称为SS型,六、传递函数描述综合例1）分子分母多项式型用 t f 函数来处理num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;sys=t f（num，den）,2）零极点增益模型1借助多项式乘法函数conv（A,B)来处理（conv同时也是卷积函数convelution，因多项式乘法运算就是就是多项式系数向量之间的卷积运算）n
8、um=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1conv(1,1,1,3,2,5);%conv内部只能含2个变量，但可以嵌套使用,sys=tf(num,den)Transfer function:4 s5+56 s4+288 s3+672 s2+720 s+288-s7+6 s6+14 s5+21 s4+24 s3+17 s2+5 s原式：,3)零极点增益模型2：借助ZPK(z,p,k)函数来处理z=-0.1,-0.2;p=-0.3,-0.3;k=1;sys1=zpk(z,p,k)Zero/pole/gain:(s+0
9、.1)(s+0.2)-(s+0.3)2零极点形式,sys2=tf(sys1)Transfer function:s2+0.3 s+0.02-s2+0.6 s+0.09多项式形式,4）部分分式展开处理：用函数residue处理num=2,0,9,1;den=1,1,4,4;r,p,k=residue(num,den),p=0.0000+2.0000i-1.0000,k=2,r=0.0000+0.2500i-2.0000,结果表达式：,5)状态空间模型用Matlab建立状态空间模型a=1 6 9 10;3 12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14;b=4 6;2 4;2 2;1 0;c
10、=0 0 2 1;8 0 2 2;d=0;sys=ss(a,b,c,d)结果见ess1.m实际运行,4.3 线性定常离散系统描述,一、差分方程模型,式中 a,b 为实常数，m=n,二、脉冲传递函数模型,此为上述差分方程进行z变换后对应的脉冲传递函数通用模型，与连续系统中的G(s)完全类似。连续系统和离散系统可以通过Matlab互相转换。即 G(s)G(z),与LTI系统完全类似，MATLAB传递函数模型生成命令中用是否包含采样周期选项来区分所处理的系统是不是脉冲传递函数，即离散系统。在离散系统中，若没有指定采样周期，则应用-1或 来代替，不能空缺。,例：4.2六1）中的传递函数例题,生成离散传
11、递函数模型：（指定采样周期0.1s，若未指定 则标 1或）num=12 24 0 20;den=2 4 6 2 2;sys=t f（num，den，0.1）结果：Transfer function:12 z3+24 z2+20-2 z4+4 z3+6 z2+2 z+2（自动变成z算子）Sampling time:0.1,生成离散传递函数模型：（未指定采样周期标 1或）num=12 24 0 20;den=2 4 6 2 2;sys=t f（num，den，）结果：Transfer function:12 z3+24 z2+20-2 z4+4 z3+6 z2+2 z+2（自动变成z算子）Samp
12、ling time:unspecified,不指定采样周期时：,4.4 数学模型参数的获取 Matlab可以不经过转换从LTI系统的一种模型得到其他模型的参数，称为模型参数获取函数：tfdata(sys,v)多项式型（v-返回向量）ssdata(sys)状态空间型（返回元胞数组）zpkdata(sys,v)零极点型 frddata(sys,v)频率响应型例：已知tf为num=3 2 5 4 6；den=1 3 4 2 7 2;z,p,k=zpkdata(tf(num,den),v)结果得到零极点向量为：,z=0.4019+1.1965i 0.4019-1.1965i-0.7352+0.8455
13、i-0.7352-0.8455ip=-1.7680+1.2673i-1.7680-1.2673i 0.4176+1.1130i 0.4176-1.1130i-0.2991 k=3,在一些场合下需要用到某种模型，而在另外一些场合下可能需要另外的模型，这就需要进行模型的转换。模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型,
14、4.5 模型的转换与连接,一、模型的转换,用法举例：1）已知系统状态空间模型为：ss-t fA=0 1;-1-2;B=0;1;C=1,3;D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu)iu用来指定第n个输入，当只有一个输入时可忽略。num=1 5 2;den=1 2 1;ss-zpkz,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z=-4.5616 p=-1 k=1-0.4384-1,2）已知一个单输入三输出系统的传递函数模型为：t f-ssnum=0 0-2;0-1-5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A=-6-11-6 B=1 C
15、=0 0-2 D=0 1 0 0 0 0-1-5 0 0 1 0 0 1 2 0 0,3）系统的零极点增益模型：zpk-t fz=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num=0 0 6 18 den=1 8 17 10 zpk-ssa,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a=-1.0000 0 0 b=1 2.0000-7.0000-3.1623 1 0 3.1623 0 0 c=0 0 1.8974 d=0 注意：零极点的输入可以写出行向量，也可以写出列向量。,4）已知部分分式：rpk-t fr=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;
16、k=2;num,den=residue(r,p,k)num=2 0 9 1den=1 1 4 4注意！余式一定要与极点相对应。本例与4.2六4）的例题互为逆转换。,1、并联：parallel 加格式：sys=parallel(sys1,sys2)并联连接两个LTI系统或相同T(采样周期)的离散系统。sys=parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2)inp1和inp2分别指定两系统中要连接在一起的输入端编号，从u1,u2,un依次编号为1,2,n；out1和out2分别指定要作相加的输出端编号，编号方式与输入类似。inp1和inp2既可以是标量也可以是向量。o
17、ut1和out2用法与之相同。如inp1=1,inp2=3表示系统1的第一个输入端与系统2的第三个输入端相连接。,二、模型的连接,若inp1=1 3,inp2=2 1则表示系统1的第一个输入与系统2的第二个输入连接，以及系统1的第三个输入与系统2的第一个输入连接。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)将并联连接的传递函数进行相加。,2、串联：series 乘格式：sys=series(sys1,sys2)串联连接两个LTI系统或相同T的离散系统。a,b,c,d=series(sys1,sys2,out1,in2)out1和in2分别指定系统1的部分输出和系统
18、2的部分输入进行连接。num,den=series(num1,den1,num2,den2)将串联连接的传递函数进行相乘。,3、反馈：feedback G1/(1+G1G2)格式：sys=feedback(sys1,sys2)将两个LTI系统或相同T的离散系统按反馈方式连接，一般而言，系统1为对象，系统2为反馈控制器。sys=feedback(sys1,sys2,sign)系统1的所有输出连接到系统2的输入，系统2的所有输出连接到系统1的输入，sign用来指示系统2输出到系统1输入的连接符号，sign缺省时，默认为负，即sign=-1。总系统的输入/输出数等同于系统1。,k(sys1,sys2
19、,inp1,out1,sign)部分反馈连接，将系统1的指定输出out1连接到系统2的输入，系统2的输出连接到系统1的指定输入inp1，以此构成 闭环系统。sign的含义与前述相同。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)在反馈系统中，子系统和闭环系统均以传递函数的形式表示。sign的含义与前述相同。当 G2=1时，就是单位反馈系统，也称为闭环反馈系统，一般不特殊指明都是负反馈。,例：系统1为：系统2为：num1=1；num2=1；den1=1 5 23;den2=1 4;G1=tf(num1,den1);G2=tf(num2,den2)%建立两个模
20、型串联连接Gs=serias（G1，G2）结果：Transfer function:1-s3+9 s2+43 s+92,并联连接Gp=parallel(G1,G2)结果：Transfer function:s2+6 s+27-s3+9 s2+43 s+92负反馈连接Gf=feedback(G1,G2)结果：Transfer function:s+4-s3+9 s2+43 s+93,ctrb和obsv函数可以求出状态空间系统的可控性和可观测性矩阵。格式：co=ctrb(a,b)ob=obsv(a,c)对于nn矩阵a，nm矩阵b和pn矩阵cctrb(a,b)可以得到nnm的可控性矩阵co=b ab a2b an-1bobsv(a,c)可以得到nmn的可观测性矩阵ob=c ca ca2 can-1当co的秩为n时，系统可控；当ob的秩为n时，系统可观。,三、模型的属性,本章小结在进行控制系统的仿真之前，建立系统的模型表达式是关键的一步。对于控制系统，有不同的分类，在本课程中主要讨论的是线性定常连续系统（LTI）系统的描述有不同的方法：微分方程；传递函数；零极点增益模式；部分分式展开；状态空间模型等。系统的模型之间可以相互转换，要求熟练掌握各种模型之间转换的命令。模型之间可以进行连接，要求掌握常用的模型连接命令：串联、并联、反馈及闭环。,
