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1、1,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,本节中不考虑周期性势场 V(r)的具体形式，仅从 V(r)的周期性出发，一般性地讨论在晶格周期性势场中运动的单电子的波函数和能量所具有的属性。,布洛赫1928年首先证明了，在晶体周期性势场中运动的单电子，其定态薛定鄂方程的解(波函数)所具有的形式(波函数一般属性)，是以晶格为周期调幅的平面波。这个论断，被称为布洛赫定理。布洛赫定理是固体能带结构的重要理论。,2,布洛赫定理表述：在单电子近似下，如果电子的势场 V(r)是以晶格为周期的函数，,式中，Rn 为晶格周期性平移矢量，,的本征函数(r)具有调幅平面波的形式：,其中 是以晶格
2、为周期的函数,即：,k 是一个实矢量，称 为布洛赫波，称由 描述的电子为布洛赫电子。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,则，薛定鄂方程,即：,3,布洛赫定理证明：,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,即证明周期势场中电子薛定鄂方程(哈密顿算符)本征函数的特征，我们将引入平移算符，证明平移算符-哈密顿算符对易，导出并考察平移算符本征函数的特征。,4,布洛赫定理证明：,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,5,布洛赫定理证明：,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,6,布洛赫定理证明：,4.2 周
3、期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,7,布洛赫定理证明：,上式(3)，即为布洛赫函数定义,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,这是因为由此形式,8,由布洛赫定理,可知：晶格周期场中电子在各原胞对应点上出现的几率相同-即电子状态具有正格子平移周期性。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.1 布洛赫定理,9,4.2.2 波矢 k 的意义和取值,布洛赫函数中的实矢量 k 是电子波(函数)的波矢.,(1)k 的取值，可被限制在第一布里渊区,第一布里渊区取值 k 对应了哈密顿量的所有本征值和本征函数。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,当 k 不在
4、第一布里渊区，总有 k 在第一布里渊区，,根据本征方程,10,(2)k 是布洛赫电子的准动量,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.2 波矢 k 的意义和取值,11,(3)周期性边界条件与 k 的取值,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.2 波矢 k 的意义和取值,12,(3)周期性边界条件与 k 的取值,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.2 波矢 k 的意义和取值,由上式可知，波矢 k 具有分立取值特征，且在倒空间均匀分布。,13,(3)周期性边界条件与 k 的取值,可求每个允许的 k 在倒空间所占体积,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.2 波矢 k
5、 的意义和取值,由波矢 k 的表达式,14,(3)周期性边界条件与 k 的取值,可求单位 k 空间体积所含分立取值的 k 数目(密度),给出 k 标度下的电子态密度，并考虑每个 k 态可被自旋相反的二个电子占据,由于 k 的量子数意义和特征，布洛赫函数下标给出 k,以示不同电子状态。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.2 波矢 k 的意义和取值,根据每个允许 k 在波矢空间所占体积,15,4.2.3 能带,-讨论晶格周期场中电子能量的一般属性,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,16,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.3 能带,将傅里叶级数展开后的势函数和波函数,代入
6、薛定鄂方程,经对 r 二次微分运算，得到级数形式薛定鄂方程，,17,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.3 能带,进一步对级数形式薛定鄂方程,是关于波函数展开系数 a(G)的线性方程组。,并利用本征函数的正交性,18,由于 l,m 取遍所有倒格矢，因此上式是与倒格矢数目相同的关于波函数展开系数 a(G)的联列方程组。原则上，由此方程组解出 a(G)，可确定波函数 k(r)的表达式。,根据线性代数理论，上述线性齐次方程组有非零解的充要条件是关于 a(G)系数行列式为零。,这是一个以 l 为行指标，m 为列指标的行列式，行列式中 k，G，V(G)都是已知常数，只有 E(k)待定。,4.2
7、 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.3 能带,19,由行列式,解出系统的能量本征值 En(k)n=1,2,3,可解出 En(k)对应的本征函数的展开系数 an,k(G)。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.3 能带,将 En(k)代入,每个 En(k)又是 k 的函数，已知 k 在第一布里渊区分立取值。,原则上我们解出了系统的全部能量本征值和对应的本征函数。,20,能带结构：能量本征值 En(k)不仅和 n 有关，同时也和 k 有关。根据 k 在第一布里渊区的不同分立取值。对于每个给定的 n，En(k)包含了由于 k 的不同取值所对应的不同能级，称为一个能带。指标 n 用来标记
8、不同的能带。同一能带中相邻 k 值的能量差别很小，En(k)近似为 k 的连续函数。相邻二个能带间可能出现电子不允许有的能量间隙，称为禁带。En(k)的总体称为晶体的能带结构。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.3 能带,21,4.2.4 能带和布洛赫函数的一些性质,1、在 k 空间具有反演对称性,2、在 k 空间具有倒格子周期性,证明参见教材,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,22,4.2.5 波矢 k 的数目,根据以上能带和布洛赫函数在倒空间的周期性，波矢为 k+G 的电子与波矢为 k 的电子状态相等。为使波矢 k 与电子态一一对应，可限制 k 在 第一布里渊区取值。,4.
9、2 周期场中单电子状态的一般属性,23,综合以上讨论结果：1、以 n 为标记的能带 En(k)包含了由于 k 的不同取值所对应的不同能级，2、能带在倒空间具有周期性，波矢 k 的取值限制在第一布里渊区，独立取值数目为 N个，我们得出以下重要结论：每个能带共有 N个不同的波矢 k 所表示的能级，N为晶体原胞总数。考虑泡里不相容原理及电子自旋，每个能带共有 2N个不同电子态，可被 2N 个电子占据。,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.5 波矢 k 的数目,24,4.2.6 图示 En(k)结构及其倒空间周期性,一维能带结构简约式图示 一维能带结构重复式图示,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,25,一维能带结构扩展图示,4.2 周期场中单电子状态的一般属性,4.2.6 图示 En(k)结构及其倒空间周期性,
