《简明线性代数》复习.ppt

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1、线 性 代 数 复 习 课,一、内 容 提 要,二、典 型 例 题,一、内 容 提 要,行列式的性质,性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,性质4 对换两行,行列式值反号.,性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.,性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.,性质5 若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.,设 A,B 为 n 阶矩阵,则有|AB|=|A|B|.,一、内 容 提 要,Laplace 按行列展开定理,行列式等于某一行(列)

2、的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即,设 A=(aij)为 n 阶方阵,则有,一、内 容 提 要,伴随阵,设 A 为 n 阶方阵,Aij 为(i,j)元的代数余子式,记,称 A 为方阵 A 的转置伴随阵.,伴随阵的性质,设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵,则有,如果|A|0,那么,称方阵 A 为非奇异矩阵.,逆阵计算公式,非奇异矩阵 A 的逆阵为,逆矩阵,如果存在矩阵 B,使 AB=BA=E那么,称方阵 A 为可逆的,并称 B 为 A 的逆矩阵.,定理 设 A,B 为 n 阶方阵,若 AB=E,则 A,B 可逆,且有,一、内 容 提 要,逆矩阵的性质,设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则有,

3、一、内 容 提 要,分块对角阵的性质,(3)A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆,且有,一、内 容 提 要,设 Ai(i=1,s)都是方阵,设 A,B 都是方阵,则有,矩阵 A 与 B 行等价的充要条件是:存在可逆矩阵 P,使 B=PA.,矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是:存在可逆矩阵 Q,使 B=AQ.,具体地有,一、内 容 提 要,等价矩阵,如果矩阵 A 经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵 B,就称矩阵 A 与 B(行,列)等价,记为 AB.,行最简形矩阵,行阶梯形矩阵,一、内 容 提 要,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位

4、阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩,记为 R(A).,性质1 等价矩阵有相等的秩.,性质2,性质4,行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.,性质5,矩阵的秩,一、内 容 提 要,如果矩阵 A 的等价标准形为,那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩,记为 R(A).,性质7,性质8,性质9,性质6,逆矩阵的初等变换求法,矩阵初等变换的应用,线性方程组的最简形解法,将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.,矩阵方程 AX=B,XA=B 的初等变换解法,一、内 容 提 要,(1)当 R(A,b)R(A)时,方程组无解;,(2)当 R(A,b)=R(A)=n 时,方程组有唯一

5、解;,(3)当 R(A,b)=R(A)n 时,方程组有无穷多解.,设 n 元线性方程组 Ax=b.,n 元方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是 R(A)n.,AX=B 有解的充要条件是 R(A)=R(A,B).,线性方程组的可解性定理,当 A为方阵时,Ax=0 有非零解的充要条件是|A|=0.,一、内 容 提 要,齐次通解结构定理,设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系为x1,xn-r,其中 r=R(A),则 Ax=0 的通解为,(k1,kn-r 为任意数),非齐次通解结构定理,(k1,kn-r 为任意数),设 x=h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解(称特解),x

6、1,xn-r 是导出组 Ax=0 的一个基础解系,则 Ax=b 的通解为,一、内 容 提 要,一、内 容 提 要,线性组合,如果存在一组数,使,称向量 b 可由向量组,并,线性表示.,设 矩阵,则线性方程组 Ax=b,有一组解,等价于,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不全为 0 的数,使,那么,称 线性相关.,否则,称 线性无关.,基本性质,一、内 容 提 要,(1)若向量 b 可由向量组 a1,am 线性表示,则向量组b,a1,am 线性相关.,(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.,(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.,定理,线性相关性,设有向量组,如果存在一组不

7、全为 0 的数,使,那么,称 线性相关.,否则,称 线性无关.,一、内 容 提 要,向量组 线性无关的充分必要条件是,a1,am 线性无关,也即向量方程,只有零解.,向量组的秩,设 A 为一向量组,A 中线性无关向量组所含向量个数的最大值 r,称为向量组 A 的秩,记为 R(A).,向量组的最大无关组,设向量组 A 的秩为 r,如果 a1,ar 为 A 中一个线性无关向量组,那么称 a1,ar 为 A 的一个最大无关组.,最大无关组的性质,设 A 为一向量组,则部分组 a1,ar 为 A 的一个最大无关组的充分必要条件是,(2)A 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.,(1)a1,ar 线性

8、无关;,一、内 容 提 要,化矩阵 A 为行最简形 A0,通过观察 A0,便知 A 的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及 A 的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.,一、内 容 提 要,秩与最大无关组的一个算法,例 设,的秩为3,一个最大无关组为,则,且有,初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.,向量组的线性表示,若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向量线性表示,就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.,一、内 容 提 要,向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是,若向量组 B 可由向量组 A 线性表示,则 R(B)R(A).,等价向量组,可以相互线性表示的两个

9、向量组,称等价向量组.,向量组 A 与向量组 B 等价的充分必要条件是,向量空间,设 Rn 的非空集 V 满足条件：,那么,称 V 为一个向量空间.,当非空集 V 满足条件(1),(2)时,称 V 对线性运算封闭.,(1)若 aV,bV,则 a+bV;,(2)若 aV,kR,则 kaV,齐次线性方程组 Ax=0 的解集 S 是一个向量空间.,子空间,设有向量空间 V1 及 V2,若 V1V2,就称 V1 是 V2 的子空间.当 V1V2 时,称 V1 是 V2 的真子空间.,一、内 容 提 要,向量空间的基和维数,称向量空间 V 的秩为 V 的维数,记为 dim V.,称向量空间 V 的任一最

10、大无关组为 V 的一个基.,基的性质,设 V 为一个向量空间,则 V 中向量组 a1,ar 为V 的一个基的充分必要条件是,(2)V 中任一向量可由 a1,ar 线性表示.,(1)a1,ar 线性无关;,n 元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系为解空间S 的一个基,dim S=n-R(A).,一、内 容 提 要,生成空间,设有向量组 A:a1,am,记,称 L(A)为由向量组 A 生成的向量空间,简称生成空间.称 a1,am 为生成元.,向量组线性表示的等价说法,设有向量组 A:a1,as,B:b1,bt.则有,(1)L(A)为 L(B)的子空间的充分必要条件是 A 组可由B 组线性表示；,

11、(2)L(A)=L(B)的充分必要条件是 A 组与 B 组等价.,一、内 容 提 要,向量在基下的坐标,设 V 为一个 r 维向量空间,则 V 中任意 r 个线性无关向量 a1,ar 为 V 的一个基,且有,V 中任一向量 a 可唯一地表示为,称(k1,kr)为 a 在基 a1,ar 下的坐标.,一、内 容 提 要,过度矩阵,一、内 容 提 要,设 a1,ar 及 b1,br 是向量空间 V 的两个基,称此关系式为基变换公式.,称矩阵 P 为从基 a1,ar 到基 b1,br 的过渡矩阵.,过渡矩阵是可逆矩阵.,则,存在 r 阶矩阵 P,使,向量的内积,一、内 容 提 要,设有 n 维向量 a

12、=(a1,an),b=(b1,bn),称 a,b 为向量 a 与 b 的内积.,记,向量的范数,若 a,b=0,则称向量 a 与 b 正交.,向量的夹角,非零向量 a 与 b 的夹角为,规范正交基,一、内 容 提 要,r 维向量空间 V 中,任一正交单位向量组 e1,er,称为 V 的一个规范正交基.,正交矩阵,如果 PTP=E(P-1=PT),则称方阵 P 为正交矩阵.,P 为 n 阶正交阵的充分必要条件是 P 的列(行)向量组为 Rn 的一个规范正交基.,正交变换,若 P 为正交阵,则称线性变换 y=Px 为正交变换.,正交变换保持向量的内积不变.,方阵的特征值,一、内 容 提 要,称 n

13、 次多项式|lE-A|为 A 的特征多项式.,称 n 次方程|lE-A|=0 的根为方阵 A 的特征值.,设 l1,ln 为 A 的所有特征值,则有,特征值的性质,(2),(1),A 的迹,记为tr(A).,设 f 是一个多项式,若 l 为方阵 A 的一个特征值,则 f(l)为 f(A)的一个特征值.,方阵的特征向量,一、内 容 提 要,设 l 为方阵 A 的特征值,称方程组(lE-A)x=0的任一非零解为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量.,对应于 n 阶矩阵 A 的特征值 l 有 n-R(lE-A)个线性无关的特征向量,定理 设 l1,lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值,A1,

14、Am 分别为属于 l1,lm 的线性无关特征向量组,则由 A1,Am 的并集构成的向量组线性无关.,称属于 l 的线性无关特征向量组.,定理 设 l1,lm 是方阵 A 的 m 个不相同的特征值,p1,pm 为对应的特征向量,则 p1,pm 线性无关.,相似矩阵,一、内 容 提 要,设 A,B 为 n 阶方阵,若存在可逆矩阵 P,使,那么,称 B 是 A 的相似矩阵.,称 P 为相似变换矩阵.,矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.,定理 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值).,推论 若对角阵 L 是 A 的相似矩阵,则 L 以 A 的特征值为对角元素.,定理,一、内 容 提 要,n 阶方阵

15、A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,定理,设 l 是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值,则,定理,方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A的每一特征值的几何重数等于代数重数.,称 k 为特征值 l 的代数重数.,称 n-R(lE-A)为特征值 l 的几何重数.,(1)求出 n 阶方阵 A 的所有特征值 li.,一、内 容 提 要,(2)求(li E-A)x=0 的一个基础解系.,(3)将求出的 n 个特征向量排成矩阵,则,可对角化矩阵的多项式计算,当 P-1AP=L=diag(l1,ln)时,方阵相似对角化的算法,二、典 型 例 题,例1 设 a1,a2,a

16、3,b 均为3维列向量,矩阵A=(a1,a2,a3),解,B=(3a1,2a2,b),且已知行列式 det A=2,det B=6.计算 det(3A-B)和 det(3A+B).,解,例2 设,计算,知识点,证明,例3 设 A 满足方程 A2+2A-E=O,证明 A 与 A+3E都可逆,并求它们的逆阵.,由 A2+2A-E=O,得,因此 A 可逆,且有,因此 A+3E 可逆,且有,解,例4,由 AB=B+A,得,例5 设,求 An.,解,则有,令,例6 设矩阵A=(a1,a2,a3,a4),其中a3,a4线性无关,a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2.向量b=a1+a2+a3+a4,求方

17、程组 Ax=b 的通解.,解,知识点,由a3=2a1+a2,a4=3a1+2a2 知x1=(2,1,-1,0)T,x2=(3,2,0,-1)T,为方程组 Ax=0 的两个解,又因a3,a4线性无关,所以a3,a4为a1,a2,a3,a4的一个最大无关组,秩 R(A)=2.,易知 R(x1,x2)=2=4-R(A),因此 x1,x2 为方程组,Ax=0 的一个基础解系.,由 b=a1+a2+a3+a4 知h=(1,1,1,1)T为方程组 Ax=b的一个特解.,因此,方程组 Ax=b 的通解为,且有,解,且有,例7 设,(1)求A的列向量组 a1,a2,a3,a4的秩和一个最大无关组,并把其余向量

18、用此最大无关组线性表示;(2)求 Ax=0 的通解.,(1)化 A 为行最简形:,a1,a2,a3,a4 的秩为2,一个最大无关组为a1,a2,知识点,(2)Ax=0 的同解方程组为,其中 k1,k2 为任意数.,令自由未知元 x3=k1,x4=k2,得 Ax=0 的通解为,证1,因 Axi=0(i=1,n-r),上式两边左乘 A 得,设存在一组数 x,x1,xn-r,使,即,(1),而 x1,xn-r 线性无关,因 Ah 0,所以,代入(1)得,所以,所以 h,h+x1,h+xn-r 线性无关.,(2),由(2)得 x=0,例8 设x1,xn-r 是 Ax=0 的一个基础解系,而h不,是 A

19、x=0 的解,证明 h,h+x1,h+xn-r 线性无关.,知识点,而 x1,xn-r 线性无关,所以 h,h+x1,h+xn-r 线性无关.,因 x1,xn-r 的线性组合也是 Ax=0 的解,h 不可由 x1,xn-r 线性表示,证2,由定理知,h,x1,xn-r 线性无关,从而,易知 h,h+x1,h+xn-r,与 h,x1,xn-r 等价,因此,所以,例8 设x1,xn-r 是 Ax=0 的一个基础解系,而h不,是 Ax=0 的解,证明 h,h+x1,h+xn-r 线性无关.,知识点,解,方阵 A 的特征多项式为,例9 求方阵,的特征值和特征向量.,方阵 A 的特征值为,解,例9 求方

20、阵,的特征值和特征向量.,当 l1=-3 时,解方程组,由,得基础解系,方阵 A 对应于 l1=-3 的全部特征向量为,解,例9 求方阵,的特征值和特征向量.,当 l2=l3=l4=1 时,解方程组,由,得基础解系,方阵 A 对应于 l2=l3=l4=1 的全部特征向量为,(k2,k3,k4 不同时为零),解,例10 设矩阵 A 与 B 相似,其中,(1)因 A 与对角阵 B 相似,知 A 的特征值为 2,2,b.,由特征值的性质得,求得,知识点,(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P-1AP=B.(3)求 An.,解,例10 设矩阵 A 与 B 相似,其中,(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P-1AP=B.(3)求 An.,(2)当 l=2 时,解方程组(2E-A)x=0,得基础解系,当 l=6 时,解方程组(6E-A)x=0,得基础解系,取可逆矩阵,则有 P-1AP=B.,知识点,解,例10 设矩阵 A 与 B 相似,其中,(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P-1AP=B.(3)求 An.,(3)A=PBP-1,An=PBnP-1.,解,例10 设矩阵 A 与 B 相似,其中,(1)求常数 a,b;(2)求可逆矩阵 P,使 P-1AP=B.(3)求 An.,(3)A=PBP-1,An=PBnP-1.,