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1、三角形,一.三角形中的线或边,三角形的三个基本要素：,如上图顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c,若ABC的三边为a，b，c，则化简|a+b-c|b-a-c|的结果是（）.(A)2a-2b(B)2a+2b+2c(C)2b-2c(D)2a-2c,三角形三边满足的关系：,三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之和大于第三边,1.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数，那么第三边长为。若第三边为偶数，那么三角形的周长。,有同学说：“一个角的平分线就是三角形的角平分线.”这种说法对吗？为什么？,说说：三角形的高、中线与角平分线有什么共同的特
2、征？,（1）都是线段；,（2）所有的高相交于一点叫：垂心 所有的中线相交于一点叫：重心 所有的角平分线相交于一点叫：内心,如图,在ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,说明ABE的面积与AEC的面积有和关系？,拓展,同高等底的两个三角形的面积相等。,三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形。,你有什么发现？,相等,怎么写过程,三角形中-【操作】型如图：将一副三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，求AOCDOB的度数是多少？,等腰三角形,有两条边相等的三角形叫等腰三角形。,底边,ASDF S,ASDF S,1.等腰三角形是轴对称图形 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的
3、高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。3.等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。,等腰三角形的性质,4.根据等腰三角形性质定理的推论,在ABC中，AB=AC时，,AB=AC ADBC，_=_，_=_.(三线合一),(2)AB=AC AD是中线，_，_=_.(),(3)AB=AC AD是角平分线，_ _，_=_.(),BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,没有垂直这个条件，行不行？,A.有两边相等的三角形是等腰三角形B.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）,等腰三角形的判定方法（2个）：,等边三角形的判
4、定方法：,A.有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形B.有两个角是60的三角形是等边三角形。C.三边相等的三角形是等边三角形,有没有拿三线合一来证明等腰三角形？,2010年区期末试题：已知：D是ABC的BC边的中点，DEAB,DFAC,垂足分别是E，F，且DE=DF.求证：ABC是等腰三角形。,学生最容易犯的错误：用三线合一去证明它是等腰三角形，是不对的,等腰三角形中的多解问题：,1.对于等腰三角形的周长：要善于利用三边的关系？例题：一个等腰三角形的两边是2，3求它的周长。若是1,2呢？周长又是多少？2.对于等腰三角形的作高问题：要考虑等腰三角形的类型,重点专题,1.等腰三角形一腰上的高与另
5、一腰的夹角是30，则等腰三角形的顶角的度数为。,2.在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，则B=。,-多解问题！,主要考虑：三角形有锐角和钝角三角形之分,勾股定理（直角三角形）,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（它的逆定理你是怎样表达的？）,勾,股,弦,如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B的面积之和为_cm2，正方形C,D,E,F的面积之和为_cm2 你还可以写出什么面积之和等于49吗？,在一个三角形中，其中两条边(两条
6、最小的边）的平方和等于第三边（最大的边）的平方，则这个三角形是直角三角形。,勾股定理的逆定理,例4 有一块四边形地D，B，m，m，CDm，DAm，求该四边形地D的面积。,例题学习,若直角三角形的两边长分别为3、4、x，试求出x的所有可能值。,易错题,如图，在RtABC中，直角边AC=5，BC=12，求ABC斜边上的高CD的长。,典型例题：,学会根据面积相等求解问题？公式：两直角边之积=斜边与斜边上的高之积,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形.,有不同的拼法吗？,实验操作：验证勾股定理,拼图展示,图 1,图 2,a+b=c,验证方法一,图 1,你还能用图2进行验证吗？
7、,方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.,验证方法二,c,a,b a,a+b=c,图 2,b,美国总统证法：,最短距离问题（化曲面为平面，利用“两点之间，线段最短。”,一个无盖的长方体形的盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的、B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？,如果有盖或靠墙又如何解决？,三角形全等问题,一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有变即：平移、翻折、旋转前后的图形全等,其中：“”表示形状相似，“=”表示大小相等,把两个全等的
8、三角形重合在一起，,重合的点叫做对应顶点，,重合的边叫对应边，重合的角叫对应角,对应规律：最大的角相对应，最长的边相对应，反之亦然,全等三角形的性质：,全等三角形对应边相等,全等三角形对应角相等,2.如图：OADOBC,且O=650，C=200,求OAD的度数？（你还能得出哪些结论）,判定两个三角形全等的方法,1、SSS：三边对应相等,2、SAS 两边及夹角对应相等,3、ASA两角夹边对应相等,4、AAS 两角及一角的对边对应相等,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成斜边、直角边或)这个判定定理“很多学生误认为是两条直角边。记住：是斜边和一条直角边,直角三角形全等的特殊证法：
9、HL,如图，已知ABCD，ACBD，AC与BD交于点O求证：AD，（你还能得出什么结论？若图形是右边的图形又该怎样证明AD）,2、请在下列空格中填上适当的条件，使ABCDEF。,在ABC和DEF中,ABC DEF（）,SSS,AB=DE,BC=EF,AC=DF,ASA,A=D,AB=DE,B=DEF,AC=DF,ACB=F,AAS,B=DEF,BC=EF,ACB=F,BC=EF,例 如图，ABC，DD，=，求证B=AD,A,B,C,如图，A，=，求证AE=DF,F,因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够长的米尺。请你设计一种方
10、案，粗略测出A、B两杆之间的距离。,利用全等解决实际问题,小强的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。,D,2.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（）A、AO=CO B、BO=DO C、AC=BD D、AO=CO且BO=DO,反证法的三步骤(1)从命题的结论的否定面出发；(2)推出一个结论（而这个结论与已知条件或公理、定理矛盾；）(3)肯定原命题的结论是正确的
11、。简记三步曲：否定结论推出矛盾肯定结论，其中推出矛盾是关键。,1.用反证法证明命题：“三角形中至多有一个内角小于或等于60”，第一步应先假设：。,2.在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60，第一步应先假设：。,三角形中三个角都小于60,三角形中三个角都大于60,感受反证法,例、求证：在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等,这与已知条件ABAC相矛盾。,求证：B C,已知：在ABC中，ABAC。,证明：假设B=C,AB=AC,所以B C,如图直线c与直线a,b都相交，12.求证：a与b不平行,1,2,a,c,b,证明：假设：ab1=2这与12矛盾。a与b 不平行。,例3、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角,分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.,已知：在ABC中，AB=AC.求证：B、C为锐角.,证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：,(1)两个底角都是直角；(2)两个底角都是钝角；所以：第一步假设：B90，C90,
