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1、任意角的三角函数,一、背景知识,任意角的三角函数是三角学中最基本最重要的概念之一。三角学起源于对三角形边角关系的研究，始于古希腊的喜帕恰斯、梅内劳斯和托勒密等人对天文的测量，在相当长的时期里隶属于天文学。直到1464年，德国数学家雷基奥蒙坦著论各种三角形，才独立于天文学之外对三角知识作了较系统的阐说；1416世纪，三角学曾一度成为欧洲数学的主要内容，研究的方面包括三角函数值表的编制、平面三角形和球面三角形的解法，三角恒等式的建立和推导等等。1631年，三角学输入中国，三角学在中国早期比较通行的名称是“八线”和“三角”。“八线”是指在单位圆上的八种三角函数线：正弦线、余弦线、正切线、余切线、正割
2、线、余割线、正矢线、余矢线。随着科学的发展，三角函数成为研究自然界和生产实践中周期变化现象的重要数学工具，它在测量、力学工程和无线电学中有着广泛的应用。,温故而知新,在直角三角形ABC中，角A的取值范围是？,（0o，90O）,sin120o=?cos150o=?tan315o=?,问题:,1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？,1.2.1任意角的三角函数,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,y,x,2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？,o,如果改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？,M,O,y,x,P(a,b),3.锐角三角函数（在单位圆中）,探究：在直角坐
3、标系中，锐角 的三角函数能用其终边上的点的坐标表示吗？,M,记,=,=,=,思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？,=1,2.任意角的三角函数定义,设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点,那么:（1）叫做 的正弦，记作，即；,（2）叫做 的余弦，记作，即；,（3）叫做 的正切，记作，即。,所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.,使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.,任意角的三角函数的定义过程：,【引例】：如图已知角的终边与单位圆的交点是，求角的正弦、余弦和正切值。,解：根据任意角的三角函数定义：,点评：若已知
4、角的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用定义求三角函数值。,例1 求 的正弦、余弦和正切值.,的终边与单位圆的交点坐标为,所以,思考：若把角 改为 呢?,，,，,点评：若已知角的大小，可求出角终边与单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。,分析：,此题只给出角的大小，没有给出其终边上的任一点的坐标，因此我们首先根据角的大小确定终边的位置，并在终边上取任意一点并确定其坐标，再根据三角函数的定义求解。,X,Y,O,解：,根据三角函数的定义得：,P（1，-1）,例2 已知角 的终边经过点，求角 的正弦、余弦和正切值.,解:由已知可得,设角 的终边与单位圆交于，,分别过点、作 轴的垂线、,于是，,解
5、题方法总结,（1）已知交点P的坐标，直接用定义。,（2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义,设角 是一个任意角，是终边上的任意一点，点 与原点的距离,那么 叫做 的正弦，即,叫做 的余弦，即,叫做 的正弦，即,任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 在角的终边上的位置无关.,定义推广：,任意角的三角函数定义,的终边,P（x，y）,思考：1、对于确定的角，比值(如果有的话)与P点在终边上的位置有无关系？2、可以看作一个函数？怎么对应？3、对于正弦、余弦、正切的定义，任意的角都是有意义的吗？4、不同角限上的符号如何？,于是，,练习 1、已知角 的终边过点，求 的三个三角函数值.,解：由已知可得：,
6、R,R,口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”,+,-,-,+,-,-,+,+,-,+,-,证明：,因为式 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；,又因为式 成立，所以角 的终边可能位于第一或第三象限.,因为式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限.于是角 为第三象限角.,反过来请同学们自己证明.,思考：,如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 角的三角函数值.,？,几个特殊角的三角函数值,例4 确定下列三角函数值的符号：（1）（2）（3）解：,（1）因为 是第三象限角，所以；,（2）因为=，而 是第一象限角，所以；,练习 确定下列三角函数值的符号,（3）因为 是第四象限角，所以.,例5 求下列三角函数值：（1）（2）,解：（1）,练习 求下列三角函数值,（2）,1.内容总结：,三角函数的概念.三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.诱导公式一.,运用了定义法、公式法、数形结合法解题.,划归的思想，数形结合的思想.,2.方法总结：,3.体现的数学思想：,作业：,课本第20页 习题1.2 A组 1、2、6、7、第9题的（1）（3）题.,再见,
