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1、1三种增长型函数模型的图象与性质,增函数,增函数,增函数,越来越快,越来越慢,y轴,x轴,2.三种增长型函数之间增长速度的比较,(1)指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间(0，)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于yax的增长速度yxn的增长速度，因而总存在一个x0，当xx0时有.,快于,axxn,(2)对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0)对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会yxn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使xx0时有.由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不
2、同，且不在同一个档次上，因此在(0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有.,logaxxn,axxnlogax,慢于,3函数模型的应用实例的基本题型(1)给定函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题4函数建模的基本程序,1下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是()Ay By100lnxCyx100 Dy1002x,答案：A,2在一定范围内，某种产品的购买量y t与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000 t，每吨为800元；购买2000 t，每吨为700元；一客户购买400 t，单价应该是()A820元 B840元C860元 D880
3、元,解析：依题意，可设y与x的函数关系式为ykxb，由x800，y1000及x700，y2000，可得k10，b9000，即y10 x9000，将y400代入得x860.答案：C,3某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过200元，不予以折扣；如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款(),A570.3元 B582.6元C590.5元 D600元,答案：B,4某种商品降价10%后，欲
4、恢复原价，则应提价_答案：11.11%,5某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电价后，峰时段(早上8点至晚上21点)的电价为0.55元/千瓦时，谷时段(晚上21时至次日早上8点)的电价为0.35元/千瓦时，对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，求这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为多少？,【例1】国际上钻石的重量计量单位为克拉已知某种钻石的价值v(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元(1)写出v关于的函数关系式；(2)若把一颗钻石切割成重量比为13的两颗钻石，求价值损失的百分率；,(3)把一
5、颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试用你所学的数学知识证明：当mn时，价值损失的百分率最大,解：(1)依题意设vk2，又当3时，v54000，所以k6000，故v60002.,当且仅当mn时等号成立即把一颗钻石切割成两颗钻石，当两颗钻石的重量相等时，价值损失的百分率最大,变式迁移 1某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分流x万人去加强第三产业分流后，继续从事第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0 x100)，而分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值1.2a万元在保证第二产业的产值不减少的情况
6、下，分流出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？,解：设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必须满足(100 x)a(12x%)100a，因为a0，x0，可解得0 x50.设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元则f(x)(100 x)a(12x%)1.2ax100a0.02a(x2110 x)0.02a(x55)260.5a，x(0,50，f(x)在(0,50上单调递增，当x50时，f(x)max60a，,因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多,(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小
7、，并求出最小总费用思路分析：(1)先由辅助未知数，即设矩形的另一边长为a m，可以建立y，x，a的关系，再根据条件用x表示a即可(2)利用基本不等式求解函数的最值,本题主要考查函数、不等式的应用问题考题的命制，借助具体的情境，即修建矩形的场地围墙的实际问题，将总费用与旧墙的长度这两个量联系起来，建立起一个函数关系，这就和第(2)问的利用均值不等式求函数最值密切联系到一起了可以说这个问题的命制是环环相扣的，考查考生利用所学知识解决实际应用问题的能力，同时也考查了考生的阅读理解能力.,变式迁移 2某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的
8、通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？,当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m时，蔬菜的种植面积最大，为648 m2.,变式迁移 31999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？,以下数据供计算时使用：,(2)依题意，y12.48(11%)10，得lgylg
9、12.4810lg1.011.1392，y13.78，故人口至多有13.78亿答：每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿,【例4】某地区的一种特色水果上市时间能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)logqxp；f(x)(x1)(xq)2p(以上三式中p、q均为常数，且q2),(1)为准确研究其价格走势，应选择哪种价格模拟函数，为什么？(2)若f(1)4，f(3)6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数的定义域是1,6其中x1表示4月1日，x2表示5月1日，以
10、此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该水果在哪几个月内价格下跌,本题为开放性的探究题，函数模型是不确定的，需要我们去探索尝试，主要是从题目给出的信息中，确定函数的重要性质，例如函数的单调性、奇偶性等，然后借助性质，对照函数的解析式，选出符合要求的函数模型同时注意检验，然后再利用所求出的函数模型解决问题.,变式迁移 4(2009山东模拟)某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：,该经营者决定下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的
11、方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字),解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(如下图),据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系：ya(x4)22(a0)，ybx，把x1，y0.65代入式，得0.65a(14)22，解得a0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资于A种商品的金额的函数关系式可近似的用y0.15(x4)22表示再把x4，y1代入式，得b0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资于B种商品的金额的函数关系可近似的用y0.25x表示,设下月投资于A种商品x万元，则投资于B种商品为(12x)万元，可获纯利润：y0.15(x4)220.25(12x)0.15x20.95x2.6.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大利润4.1万元,解函数应用题的步骤解应用题就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决基本程序如下：,解题步骤如下：阅读、审题：要做到简缩问题，删掉次要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最后运用表格(或图形)处理数据，便于寻找数量关系；建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式；合理求解纯数学问题；解释并回答实际问题,
